フーリエ解析・ラプラス変換の問題

分母を平方完成すると
$$s^2+4s+13=(s+2{)}^2+9=(s+2{)}^2+3^2.$$
分子を $s+2$ を使って書き直すと
$$2s+5=2(s+2)+1.$$
よって
$$F(s)=2\cdot \frac{s+2}{(s+2{)}^2+3^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(s+2{)}^2+3^2}.$$

基本的なラプラス変換
$$\mathcal{L}[\cos \omega t](s)=\frac{s}{s^2+{\omega }^2},\mathcal{L}[\sin \omega t](s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}(s>0)$$
と、移動法則 $\mathcal{L}[e^{at}g(t)](s)=G(s-a)$（$G=\mathcal{L}[g]$）を $a=-2$ で使うと
$$\mathcal{L}[e^{-2t}\cos 3t](s)=\frac{s+2}{(s+2{)}^2+9},\mathcal{L}[e^{-2t}\sin 3t](s)=\frac{3}{(s+2{)}^2+9}(s>-2).$$

ラプラス変換の線形性と、連続関数についての逆変換の一意性（レルヒ（Lerch）の定理）より
$$f(t)=2e^{-2t}\cos 3t+\frac{1}{3}{e}^{-2t}\sin 3t.$$

（確認）$t=0$ では $f(0)=2$ で、$\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{2s^2+5s}{s^2+4s+13}=2$（初期値定理）と一致する。

分母を平方完成すると $s^2+4s+13=(s+2{)}^2+9$。分子は $2s+5=2(s+2)+1$ と書けるので
$$F(s)=2\cdot \frac{s+2}{(s+2{)}^2+3^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(s+2{)}^2+3^2}.$$
公式 $\mathcal{L}[\cos 3t](s)=\frac{s}{s^2+9}$, $\mathcal{L}[\sin 3t](s)=\frac{3}{s^2+9}$（$s>0$）と移動法則 $\mathcal{L}[e^{-2t}g(t)](s)=G(s+2)$（$s>-2$）より
$$\mathcal{L}[e^{-2t}\cos 3t]=\frac{s+2}{(s+2{)}^2+9},\mathcal{L}[e^{-2t}\sin 3t]=\frac{3}{(s+2{)}^2+9}(s>-2).$$
よって $f(t)=e^{-2t}\left(2\cos 3t+\frac{1}{3}\sin 3t\right)$。連続関数のラプラス変換は一意（レルヒの定理）なので、これが求める関数である。

検算: $f(0)=2$ で、初期値定理 ${\lim }_{s\to \infty }sF(s)=2$ と一致。また $f^{\prime }(t)=e^{-2t}(-4\cos 3t-\frac{2}{3}\sin 3t-6\sin 3t+\cos 3t)=e^{-2t}(-3\cos 3t-\frac{20}{3}\sin 3t)$ より $f^{\prime }(0)=-3$。${\lim }_{s\to \infty }s(sF(s)-2)=\lim s\cdot \frac{2s^2+5s-2s^2-8s-26}{s^2+4s+13}=-3$ と一致。