フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t\geqq 0$ に対して積分方程式
$$y(t)+2{\int }_0^t\cos (t-u)y(u)du=e^{-t}$$
を満たすとする。$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、$y(t)$ のラプラス変換は十分大きい実数 $s$ に対して存在するものとする。$y(t)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ は、$t\ge 0$ で連続、$t\ne \pi$ で微分可能であり、$y(0)=0$ を満たし、さらに $t>0,t\ne \pi$ において積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =U(t-\pi )$$
を満たすとする。ここで $U(t)$ は単位階段関数（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）である。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

関数 $f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定める。次の反転公式は用いてよい: $f\in L^1(\mathbb{R})$ が $\mathbb{R}$ 上で連続で、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})$ ならば、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{i\xi x}d\xi$$
が成り立つ。

関数 $\Lambda (x)=\max \{1-|x|,0\}(x\in \mathbb{R})$ のフーリエ変換を計算し、反転公式を用いて、すべての実数 $t$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}u}{u^2}\cos (2tu)du=\pi \max \{1-|t|,0\}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし被積分関数の $u=0$ での値は $1$ と定める（連続な延長）。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>0$ で
$$F(s)=\frac{3s^2+8s+13}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$
であるとき、$f(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\ge 0$）。