フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t\geqq 0$ に対して積分方程式
$$y(t)+2{\int }_0^t\cos (t-u)y(u)du=e^{-t}$$
を満たすとする。$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、$y(t)$ のラプラス変換は十分大きい実数 $s$ に対して存在するものとする。$y(t)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+2y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換 $Y(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt$ を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、すべての $t>0$ に対して積分方程式
$${\int }_0^t\frac{y(u)}{\sqrt{t-u}}du=t+t^2$$
を満たすとする。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定め、必要なら、実数 $a>-1$ に対する公式 $\mathcal{L}[t^a](s)=\frac{\Gamma (a+1)}{s^{a+1}}$（$s>0$）と $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$、$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ を用いてよい。ラプラス変換を用いて、$y(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\geqq 0$）。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ を、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (2m\leqq t<2m+1)\\ 0& (2m+1\leqq t<2m+2)\end{array}$$
で定める（周期 $2$ の矩形波）。関数 $y(t)$ は $t\geqq 0$ で連続微分可能で、$y^{\prime \prime }(t)$ は区分的に連続であり、$f(t)$ の不連続点を除くすべての $t>0$ で微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)$$
を満たし、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。関数 $g(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[g](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$ で定める。ラプラス変換を用いて、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)(n\text{ は正の整数})$$
の値を求めよ。