フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. $f$ のラプラス変換

$f$ は周期 $2$ の周期関数なので、$s>0$ で
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)=\frac{1}{1-e^{-2s}}{\int }_0^2{e}^{-st}f(t)dt=\frac{1}{1-e^{-2s}}{\int }_0^1{e}^{-st}dt=\frac{1-e^{-s}}{s(1-e^{-2s})}=\frac{1}{s(1+e^{-s})}.$$
$s>0$ では $0<e^{-s}<1$ なので
$$\frac{1}{1+e^{-s}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{e}^{-ks}.$$

2. 微分方程式の変換

$Y(s)=\mathcal{L}[y](s)$ とおく。$y(0)=y^{\prime }(0)=0$ より $\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY$, $\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^{2}Y$ なので
$$(s^2+3s+2)Y=F(s),Y(s)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{e}^{-ks}H(s),H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.$$
部分分数分解すると
$$H(s)=\frac{1}{2s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2(s+2)}$$
であるから、$h(t)={\mathcal{L}}^{-1}[H](t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}{e}^{-2t}$ である。$h(0)=0$ に注意する。

3. 逆変換

推移定理 $\mathcal{L}[u(t-k)h(t-k)]=e^{-ks}H(s)$（$u$ は単位階段関数）より
$$y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^{k}u(t-k)h(t-k)=\sum _{0\leqq k\leqq t}(-1{)}^{k}h(t-k)$$
（各 $t$ で有限和）。

4. $y(2n)$ の計算

$t=2n$ とし、$j=2n-k$ とおくと $(-1{)}^k=(-1{)}^j$ なので
$$y(2n)=\sum _{j=0}^{2n}(-1{)}^{j}h(j)=\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{2n}(-1{)}^j-\sum _{j=0}^{2n}(-e^{-1}{)}^j+\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{2n}(-e^{-2}{)}^j.$$
ここで $\sum _{j=0}^{2n}(-1{)}^j=1$ である。また $n\to \infty$ で等比級数の和は
$$\sum _{j=0}^{\infty }(-e^{-1}{)}^j=\frac{1}{1+e^{-1}}=\frac{e}{e+1},\sum _{j=0}^{\infty }(-e^{-2}{)}^j=\frac{e^2}{e^2+1}.$$
よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)=\frac{1}{2}-\frac{e}{e+1}+\frac{e^2}{2(e^2+1)}=\frac{2e^2+1}{2(e^2+1)}-\frac{e}{e+1}.$$
通分すると、分子は
$$(2e^2+1)(e+1)-2e(e^2+1)=2e^3+2e^2+e+1-2e^3-2e=2e^2-e+1$$
となる。したがって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)=\frac{2e^2-e+1}{2(e+1)(e^2+1)}(\approx 0.209).$$
（$f$ の平均値 $\frac{1}{2}$ に対する定常的な平均値は $\frac{1}{4}$ であり、入力が $0$ の区間の終わりである $t=2n$ でそれより小さい値になることとも整合する。）

伝達関数は $1/((s+1)(s+2))$、$f$ のラプラス変換は $F(s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{1-e^{-s}}{1-e^{-2s}}=\frac{1}{s(1+e^{-s})}$ なので、$Y(s)=\frac{F(s)}{(s+1)(s+2)}$ である。

$\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$ の逆変換は単位ステップ応答 $S(u)=\frac{1}{2}-e^{-u}+\frac{1}{2}{e}^{-2u}$（$u\ge 0$）、$u<0$ では $S(u)=0$ となる。また $F(s)=\frac{1}{s}{\sum }_{m\ge 0}(e^{-2ms}-e^{-(2m+1)s})$ と展開できる。

これを逆変換すると
$$y(t)=\sum _{m\ge 0}[S(t-2m)-S(t-2m-1)]$$
となる。

$t=2n$ のとき $j=n-m$ とおくと、$m=n$ の項は $S(0)-S(-1)=0$ なので、
$$y(2n)=\sum _{j=1}^n[S(2j)-S(2j-1)]$$
である。

各項は
$$S(2j)-S(2j-1)=(e-1)e^{-2j}-\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-4j}$$
となる。

$n\to \infty$ で等比級数の和をとる。${\sum }_{j\ge 1}{e}^{-2j}=\frac{1}{e^2-1}$、${\sum }_{j\ge 1}{e}^{-4j}=\frac{1}{e^4-1}$ より、
$$\lim y(2n)=\frac{e-1}{e^2-1}-\frac{e^2-1}{2(e^4-1)}=\frac{1}{e+1}-\frac{1}{2(e^2+1)}=\frac{2e^2-e+1}{2(e+1)(e^2+1)}.$$

数値は約 $0.2689-0.0596=0.209$ で、$f$ の平均 $1/2$ を $2$ で割った $0.25$ より小さい。$t=2n$ は $f=0$ の区間の終わりなので、この大小関係は自然である。