フーリエ解析の問題

フーリエ変換の計算. $a>0$ に対し
$${\hat{\chi }}_a(\xi )={\int }_{-a}^a{e}^{-ix\xi }dx=\frac{2\sin a\xi }{\xi }(\xi \ne 0)$$
である。特に ${\hat{\chi }}_1(\xi )=\frac{2\sin \xi }{\xi }$, ${\hat{\chi }}_{1/2}(\xi )=\frac{2\sin (\xi /2)}{\xi }$。

$h={\chi }_1\ast {\chi }_1$ は $h(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\chi }_1(x-y){\chi }_1(y)dy$ で、これは区間 $[-1,1]$ と $[x-1,x+1]$ の共通部分の長さだから
$$h(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\le 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array}$$
となる。${\chi }_1\in L^1$ なので畳み込み定理 $\widehat{f\ast g}=\hat{f}\hat{g}$ が使え、
$$\hat{h}(\xi )={\hat{\chi }}_1(\xi {)}^2=\frac{4{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}.$$

プランシュレルの等式. $f,g\in L^1\cap L^2$ に対し
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。$h$ と ${\chi }_{1/2}$ はともに有界で台がコンパクトなので $L^1\cap L^2$ に属し、この等式が使える。また両者とも実数値の偶関数なので、フーリエ変換も実数値である。

左辺は
$${\int }_{-\infty }^{\infty }h(x){\chi }_{1/2}(x)dx={\int }_{-1/2}^{1/2}(2-|x|)dx=2{\int }_0^{1/2}(2-x)dx=2\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7}{4}.$$
右辺は
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{4{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}\cdot \frac{2\sin (\xi /2)}{\xi }d\xi =\frac{8}{2\pi }I=\frac{4}{\pi }I.$$
（被積分関数は $|\xi |\to \infty$ で $O(|\xi {|}^{-3})$、$\xi \to 0$ で $\frac{1}{2}$ に収束するので絶対収束する。）

よって $\frac{4}{\pi }I=\frac{7}{4}$ より
$$I=\frac{7\pi }{16}.$$

${\hat{\chi }}_a(\xi )={\int }_{-a}^a{e}^{-ix\xi }dx=\frac{2\sin (a\xi )}{\xi }$。よって ${\hat{\chi }}_{1/2}(\xi )=\frac{2\sin (\xi /2)}{\xi }$。畳み込みのフーリエ変換は積なので $\hat{h}(\xi )={\hat{\chi }}_1(\xi {)}^2=\frac{4{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}$。

プランシュレルの等式（内積の形）: $\int h(x)\overline{{\chi }_{1/2}(x)}dx=\frac{1}{2\pi }\int \hat{h}(\xi )\overline{{\hat{\chi }}_{1/2}(\xi )}d\xi$。右辺の被積分関数は $\frac{4{\sin }^2\xi }{{\xi }^2}\cdot \frac{2\sin (\xi /2)}{\xi }=8\frac{{\sin }^2\xi \sin (\xi /2)}{{\xi }^3}$ なので、右辺 $=\frac{8}{2\pi }I=\frac{4}{\pi }I$。

左辺: $h(x)=\int {\chi }_1(y){\chi }_1(x-y)dy$ は区間 $[-1,1]$ と $[x-1,x+1]$ の重なりの長さで、$h(x)=\max (2-|x|,0)$。よって ${\int }_{-1/2}^{1/2}(2-|x|)dx=2\cdot 1-2\cdot \frac{1}{8}=\frac{7}{4}$。

ゆえに $\frac{4}{\pi }I=\frac{7}{4}$、$I=\frac{7\pi }{16}$。

確かめ: 被積分関数は $x=0$ で $\frac{1}{2}$ をとり、偶関数で $|x|$ が大きいと $1/x^3$ 程度で減衰するので、積分値 $\approx 1.37$ は妥当。