フーリエ解析の問題

1. 超関数の意味での微分。 $h$ は偶関数で、$x>0$ では $h(x)=x{e}^{-x}$ より
$$h^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x},h^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}(x>0).$$
$x<0$ では $h(x)=-x{e}^x$ より $h^{\prime }(x)=-(1+x)e^x$。$h$ は連続で、$h^{\prime }$ は $x=0$ で $h^{\prime }(0+)=1,h^{\prime }(0-)=-1$ と高さ $2$ の跳びをもつ。部分積分により（跳びの分だけデルタが現れて）
$$T=h^{\prime \prime }=(|x|-2)e^{-|x|}+2\delta .$$
同様に $f^{\prime }(x)=-\mathrm{sgn}(x)e^{-|x|}$ は $x=0$ で $-1-1=-2$ の跳びをもつので
$$f^{\prime \prime }=e^{-|x|}-2\delta =f-2\delta .$$

2. 畳み込みと微分の交換。 $h,f$ およびそれらの古典的な導関数はすべて指数的に減衰する可積分関数なので、畳み込みは通常の積分で定義され、超関数の微分は畳み込みのどちらの因子に移してもよい：$h^{\prime \prime }\ast f=(h\ast f{)}^{\prime \prime }=h\ast f^{\prime \prime }$。よって
$$T\ast f=h\ast f^{\prime \prime }=h\ast (f-2\delta )=h\ast f-2h.$$

3. $h\ast f$ の計算（$x\ge 0$）。
$$(h\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|y|e^{-|y|}{e}^{-|x-y|}dy$$
を $y<0$, $0\le y\le x$, $y>x$ に分ける。
- $y<0$：${\int }_{-\infty }^0(-y)e^y{e}^{-(x-y)}dy=e^{-x}{\int }_{-\infty }^0(-y)e^{2y}dy=\frac{e^{-x}}{4}$
- $0\le y\le x$：${\int }_0^{x}y{e}^{-y}{e}^{-(x-y)}dy=e^{-x}{\int }_0^{x}ydy=\frac{x^2}{2}{e}^{-x}$
- $y>x$：${\int }_x^{\infty }y{e}^{-y}{e}^{x-y}dy=e^x{\int }_x^{\infty }y{e}^{-2y}dy=e^x\cdot e^{-2x}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-x}$

合計して
$$(h\ast f)(x)=\frac{x^2+x+1}{2}{e}^{-x}(x\ge 0).$$

4. 結論。 $x\ge 0$ で $h(x)=x{e}^{-x}$ なので
$$(T\ast f)(x)=\frac{x^2+x+1}{2}{e}^{-x}-2x{e}^{-x}=\frac{1}{2}\left(x^2-3x+1\right)e^{-x}.$$

（検算）$x=0$ では $T=(|y|-2)e^{-|y|}+2\delta$ を直接使うと $(T\ast f)(0)=\int (|y|-2)e^{-2|y|}dy+2f(0)=\frac{1}{2}-2+2=\frac{1}{2}$ となり、上の式の $x=0$ での値 $\frac{1}{2}$ と一致する。

超関数の畳み込みの微分則より $T\ast f=h^{\prime \prime }\ast f=h\ast f^{\prime \prime }$。$f=e^{-|x|}$ について $f^{\prime }=-\mathrm{sgn}(x)e^{-|x|}$、$f^{\prime \prime }=e^{-|x|}-2\delta$ なので $f^{\prime \prime }=f-2\delta$。よって $T\ast f=h\ast f-2h$。

$x\ge 0$ で $(h\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|y|e^{-|y|}{e}^{-|x-y|}dy$ を 3 つの区間に分けて計算する。
- $y<0$: ${\int }_{-\infty }^0(-y)e^y{e}^{-x+y}dy=e^{-x}{\int }_{-\infty }^0(-y)e^{2y}dy=\frac{1}{4}{e}^{-x}$。
- $0\le y\le x$: ${\int }_0^{x}y{e}^{-y}{e}^{-x+y}dy=e^{-x}\frac{x^2}{2}$。
- $y>x$: ${\int }_x^{\infty }y{e}^{-y}{e}^{-(y-x)}dy=e^x{\int }_x^{\infty }y{e}^{-2y}dy=e^x{e}^{-2x}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)=e^{-x}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)$。

合計 $(h\ast f)(x)=e^{-x}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)$。$2h(x)=2x{e}^{-x}$ を引いて
$(T\ast f)(x)=e^{-x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{x^2-3x+1}{2}{e}^{-x}$。

検算: 直接 $h^{\prime \prime }=2\delta +(|x|-2)e^{-|x|}$（$h^{\prime }(0\pm )=\pm 1$ のジャンプ 2 による）。$x=0$ で $(T\ast f)(0)=2f(0)+\int (|y|-2)e^{-2|y|}dy=2+2\left(\frac{1}{4}-1\right)=\frac{1}{2}$。上の式の $x=0$ の値 $\frac{1}{2}$ と一致。