主値 $p.v. \frac{1}{x}$ と $lo g ∣ x ∣$ の超関数微分

$(lo g ∣ x ∣)^{'} = p.v. \frac{1}{x}$ を示し、 $(lo g ∣ x ∣)^{''}$ を有限部分 $- f.p. \frac{1}{x ^{2}}$ として表せる。これらを $e^{- x^{2}}$ などの急減少関数に作用させた値を求められる

前提

超関数と超関数の意味での微分（大学院数学フーリエ解析）
ガウス積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
超関数と超関数の意味での微分（大学院数学フーリエ解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）

説明

$\frac{1}{x}$ や $\frac{1}{x ^{2}}$ は原点の近くで積分できない（局所可積分でない）ので、そのままでは超関数になりません。ところが $lo g ∣ x ∣$ は局所可積分なので超関数であり、それを超関数の意味で微分すると、 $\frac{1}{x}$ を「原点のまわりを対称に切り取って極限をとる」主値 $p.v. \frac{1}{x}$ が、もう一度微分すると $\frac{1}{x ^{2}}$ の「発散する部分を引き去る」有限部分 $- f.p. \frac{1}{x ^{2}}$ が自然に現れます。この技能では、その計算を部分積分で確かめ、 $e^{- x^{2}}$ のような急減少関数に作用させた値を具体的に求められるようにします。ヒルベルト変換やフーリエ解析で $\frac{1}{x}$ 型の特異性を扱う場面の基本になります。

なぜそうしてよいのか

ここでは試験関数 $φ$ として、何回でも微分でき、 $φ$ とそのすべての導関数に任意の多項式を掛けても $∣ x ∣ \to \infty$ で有界にとどまる関数（急減少関数、例 $e^{- x^{2}}$ ）を考えます。 $lo g ∣ x ∣$ は原点で $\int_{- 1}^{1} ∣ lo g ∣ x ∣∣ d x = 2 < \infty$ なので局所可積分で、増え方もゆるやかなので $⟨ lo g ∣ x ∣, φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} lo g ∣ x ∣ φ (x) d x$ が意味をもちます。定義どおり $⟨(lo g ∣ x ∣)^{'}, φ ⟩ = - \int lo g ∣ x ∣ φ^{'} (x) d x$ です。この積分は絶対収束するので $lim_{ε \to + 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε}$ と書き直してよく、 $[ε, \infty)$ と $(- \infty, - ε]$ で別々に部分積分すると
$- \int_{∣ x ∣ \geq ε} lo g ∣ x ∣ φ^{'} (x) d x = lo g ε (φ (ε) - φ (- ε)) + \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x} d x$
となります（ $\pm \infty$ 側の境界項は $φ$ の急減少性から $0$ ）。平均値の定理から $∣ φ (ε) - φ (- ε) ∣ \leq 2 ε sup ∣ φ^{'} ∣$ で、 $ε lo g ε \to 0$ なので境界項は消えます。残った極限が主値
$⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ ⟩ = ε \to + 0 lim \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{φ ( x ) - φ ( - x )}{x} d x$
です（右辺の被積分関数は $x \to + 0$ で有界なので収束します）。 $\frac{1}{x}$ が奇関数なので、原点の左右の発散が打ち消し合うのがポイントです。

もう一度微分すると $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = - ⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩ = - lim_{ε \to + 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ^{'} ( x )}{x} d x$ です。同じように部分積分すると
$\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ^{'} ( x )}{x} d x = \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x ^{2}} d x - \frac{φ ( ε ) + φ ( - ε )}{ε}$
となります。今度は $\frac{1}{x ^{2}}$ が偶関数なので打ち消し合わず、右辺の各項は別々には発散します。 $φ (ε) + φ (- ε) = 2 φ (0) + O (ε^{2})$ なので、発散する部分 $\frac{2 φ ( 0 )}{ε}$ を引き去った極限
$⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = ε \to + 0 lim (\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x ^{2}} d x - \frac{2 φ ( 0 )}{ε})$
は存在し（左辺の極限が存在し、差は $O (ε)$ だから）、 $(lo g ∣ x ∣)^{''} = - f.p. \frac{1}{x ^{2}}$ が得られます。

$\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{2}{ε}$ なので、引き去る項は $\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( 0 )}{x ^{2}} d x$ と書けて、 $⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = lim_{ε \to + 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x ) - φ ( 0 )}{x ^{2}} d x$ です。つまり「 $φ (0)$ を引いてから積分する」値です。特に $φ$ が偶関数なら $φ (x) - φ (0) = O (x^{2})$ で被積分関数は原点で有界なので、 $⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{φ ( x ) - φ ( 0 )}{x ^{2}} d x$ とふつうの（広義）積分で書けます。

手順

求めたい作用を、定義 $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩$ を使って、 $lo g ∣ x ∣$ または $p.v. \frac{1}{x}$ を $φ$ の導関数に作用させる形に書き直す。例: $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = - ⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩$
主値は $⟨ p.v. \frac{1}{x}, ψ ⟩ = lim_{ε \to + 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{ψ ( x )}{x} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{ψ ( x ) - ψ ( - x )}{x} d x$ として計算する（ $ψ$ が偶関数なら $0$ ）
有限部分を直接求めるときは $⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = lim_{ε \to + 0} (\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x ^{2}} d x - \frac{2 φ ( 0 )}{ε})$ を使う（ $φ$ が偶関数なら $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{φ ( x ) - φ ( 0 )}{x ^{2}} d x$ ）
具体的な $φ$ を代入し、被積分関数が原点で有界な関数になれば普通の（広義）積分として計算する。ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ などを使う
最初に付けた符号（微分 1 回ごとに $- 1$ ）と、 $(lo g ∣ x ∣)^{''} = - f.p. \frac{1}{x ^{2}}$ の符号を確認して答えを出す

例題

$φ (x) = e^{- x^{2}}$ とする。超関数 $(lo g ∣ x ∣)^{''}$ を $φ$ に作用させた値 $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 定義より $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = - ⟨(lo g ∣ x ∣)^{'}, φ^{'} ⟩ = - ⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩$ 。主値に帰着できたので、手順 3（有限部分を直接使う方法）はここでは使わず、最後の確認で使う。

手順 2: $φ^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ なので
$⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩ = ε \to + 0 lim \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{- 2 x e ^{- x^{2}}}{x} d x = ε \to + 0 lim \int_{∣ x ∣ \geq ε} (- 2 e^{- x^{2}}) d x .$

手順 4: 被積分関数 $- 2 e^{- x^{2}}$ は原点で有界な可積分関数なので、極限はふつうの積分になり、ガウス積分から
$\int_{- \infty}^{\infty} (- 2 e^{- x^{2}}) d x = - 2 π .$

手順 5: よって $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = - (- 2 π) = 2 π$ 。

（確認: 手順 3 の有限部分で計算すると、 $φ$ は偶関数なので $⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e ^{- x^{2}} - 1}{x ^{2}} d x$ 。部分積分で $[- \frac{e ^{- x^{2}} - 1}{x}]_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} \frac{- 2 x e ^{- x^{2}}}{x} d x = 0 - 2 π$ （ $\frac{e ^{- x^{2}} - 1}{x}$ は原点で $0$ に連続に延び、 $\pm \infty$ で $0$ ）。したがって $- ⟨ f.p. \frac{1}{x ^{2}}, φ ⟩ = 2 π$ で一致する。）

答え: $2 π$

よくある誤り

$\frac{1}{x}$ をそのまま局所可積分関数とみなして $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{φ ( x )}{x} d x$ と書いてしまう誤り。この積分は原点で絶対収束しない。正しくは対称に切り取った極限 $lim_{ε \to + 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x} d x$ として定める
$(p.v. \frac{1}{x})^{'}$ を各点の導関数 $- \frac{1}{x ^{2}}$ を使って $- \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x ^{2}} d x$ の極限としてしまう誤り。これは $φ (0) \neq = 0$ だと $\pm \infty$ に発散する。正しくは境界項 $\frac{φ ( ε ) + φ ( - ε )}{ε}$ を残して $(p.v. \frac{1}{x})^{'} = - f.p. \frac{1}{x ^{2}}$ 、すなわち $⟨(p.v. \frac{1}{x})^{'}, φ ⟩ = - lim_{ε \to + 0} (\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ}{x ^{2}} d x - \frac{2 φ ( 0 )}{ε})$
有限部分で引く項を $\frac{φ ( 0 )}{ε}$ としてしまう誤り。 $\int_{ε}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{1}{ε}$ が左右 2 つあるので、正しくは $\frac{2 φ ( 0 )}{ε}$ を引く
符号を落として $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = ⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩$ とする誤り。微分のたびに $- 1$ が付くので、正しくは $⟨(lo g ∣ x ∣)^{''}, φ ⟩ = - ⟨ p.v. \frac{1}{x}, φ^{'} ⟩$ （ $φ = e^{- x^{2}}$ なら $- 2 π$ ではなく $2 π$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R$ 上の局所可積分関数 $lo g ∣ x ∣$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での（ $1$ 階の）導関数を $S = \frac{d}{d x} lo g ∣ x ∣$ とする。急減少関数
$φ (x) = (1 + 3 x) e^{- x^{2}}$
に対して、 $⟨ S, φ ⟩$ の値を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とし、 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ を用いてよい。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$R$ 上の局所可積分関数 $lo g ∣ x ∣$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T = \frac{d ^{2}}{d x ^{2}} lo g ∣ x ∣$ とする。急減少関数 $φ (x) = e^{- x^{2}}$ に対し、 $⟨ T, φ ⟩$ の値を求めよ。

この技能の次に学べること

緩増加超関数のフーリエ変換（大学院数学フーリエ解析）

主値 p.v.x1​ と log∣x∣ の超関数微分

前提

説明