緩増加超関数のフーリエ変換

$⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ で定めたフーリエ変換を計算できる。 $δ^= 1$ 、 $1^= 2 π δ$ 、 $sgn = - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ などを求め、多項式や $sgn$ を含む関数の変換に使える

前提

フーリエ変換の基本公式と規約の換算（大学院数学フーリエ解析）
主値 $p.v. \frac{1}{x}$ と $lo g ∣ x ∣$ の超関数微分（大学院数学フーリエ解析）

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算数中学高校大学大学院

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フーリエ変換の基本公式と規約の換算（大学院数学フーリエ解析）
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重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
主値 $p.v. \frac{1}{x}$ と $lo g ∣ x ∣$ の超関数微分（大学院数学フーリエ解析）

説明

定数関数 $1$ 、多項式、符号関数 $sgn x$ のように $R$ 上で積分できない関数は、普通の積分ではフーリエ変換を定義できません。そこで、急減少関数（シュワルツ関数） $φ$ に対する作用 $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ によってフーリエ変換を定めます。この技能を身につけると、 $δ^= 1$ 、 $1^= 2 π δ$ 、 $x^{n} = 2 π i^{n} δ^{(n)}$ 、 $sgn = - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ を導き、それらを組み合わせて、多項式や $sgn$ を含む関数のフーリエ変換と、その試験関数への作用の値を計算できるようになります。以下、規約は $f^(ξ) = \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x$ 、逆変換は $f (x) = \frac{1}{2 π} \int f^(ξ) e^{i x ξ} d ξ$ とします。

なぜそうしてよいのか

急減少関数（何回微分しても、どんな多項式を掛けても有界なままの滑らかな関数）全体を $S$ と書き、 $S$ 上の連続な線形汎関数を緩増加超関数と呼びます。多項式の増え方で抑えられる関数 $f$ は $⟨ f, φ ⟩ = \int f φ d x$ によって緩増加超関数とみなせます。 $f$ と $φ$ がどちらも積分できるときは、重積分の順序交換により $\int f^(ξ) φ (ξ) d ξ = \iint f (x) e^{- i x ξ} φ (ξ) d x d ξ = \int f (x) φ^(x) d x$ が成り立ちます。右辺は $φ \in S$ なら $φ^\in S$ なので、 $f$ が積分できなくても意味をもちます。そこで $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ を一般の緩増加超関数 $T$ のフーリエ変換の定義にします。普通の関数に対しては従来の定義と一致するので、矛盾はありません。

この定義から基本の公式がすぐ出ます。 $⟨ δ^, φ ⟩ = φ^(0) = \int φ (x) d x = ⟨ 1, φ ⟩$ なので $δ^= 1$ 。また逆変換公式を $x = 0$ で使うと $\int φ^(x) d x = 2 π φ (0)$ なので $⟨ 1^, φ ⟩ = \int φ^= 2 π φ (0)$ 、すなわち $1^= 2 π δ$ 。さらに、普通の関数で成り立つ「 $x$ を掛けると変換は $i \frac{d}{d ξ}$ される」「微分すると変換に $i ξ$ が掛かる」も、定義を通して超関数にそのまま移ります（ $x T = i (T^)^{'}$ 、 $T^{'} = i ξ T^$ ）。これを $1^= 2 π δ$ に繰り返し使えば $x^{n} = i^{n} (2 π δ)^{(n)} = 2 π i^{n} δ^{(n)}$ です。

$sgn$ は、積分できる関数 $f_{ε} (x) = e^{- ε ∣ x ∣} sgn x$ （ $ε > 0$ ）で近似します。 $f^_{ε} (ξ) = \int_{0}^{\infty} e^{- (ε + i ξ) x} d x - \int_{- \infty}^{0} e^{(ε - i ξ) x} d x = \frac{1}{ε + i ξ} - \frac{1}{ε - i ξ} = \frac{- 2 i ξ}{ε ^{2} + ξ ^{2}}$ です。 $ε \to + 0$ で $f_{ε} \to sgn$ （超関数として）なので、両辺を $φ$ に作用させて極限をとると $\int \frac{- 2 i ξ}{ε ^{2} + ξ ^{2}} φ (ξ) d ξ \to - 2 i p.v. \int \frac{φ ( ξ )}{ξ} d ξ$ となり（ $φ (ξ) - φ (- ξ)$ の形にまとめると $ξ = 0$ 付近の打ち消し合いが見えます）、 $sgn = - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ が得られます。検算として、 $sgn^{'} = 2 δ$ の両辺を変換すると $i ξ sgn = 2$ となり、 $ξ \cdot p.v. \frac{1}{ξ} = 1$ と合っています。

手順

規約を確認する: $f^(ξ) = \int f (x) e^{- i x ξ} d x$ のもとで $δ^= 1$ 、 $1^= 2 π δ$ 、 $x^{n} = 2 π i^{n} δ^{(n)}$ 、 $sgn = - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ 。別の規約なら係数を換算する
与えられた $T$ を、これらの基本の超関数（と普通に変換できる関数）の線形結合に分解する（例: $1_{(0, \infty)} = \frac{1}{2} (1 + sgn)$ 、 $x sgn x = ∣ x ∣$ など）
フーリエ変換の線形性で各項を変換し、 $x$ を掛けた項には $x T = i (T^)^{'}$ 、微分した項には $T^{'} = i ξ T^$ を使って $T^$ を書き下す
試験関数 $φ$ への作用を求めるときは、 $⟨ δ^{(k)}, φ ⟩ = (- 1)^{k} φ^{(k)} (0)$ 、 $⟨ p.v. \frac{1}{ξ}, φ ⟩ = lim_{ε \to + 0} \int_{∣ ξ ∣ > ε} \frac{φ ( ξ )}{ξ} d ξ$ を使って各項を計算し、足し合わせる

例題

フーリエ変換を $f^(ξ) = \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x$ で定め、緩増加超関数 $T$ のフーリエ変換を $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ で定める。 $T (x) = 1 + sgn x$ とし、 $φ (ξ) = (1 + ξ) e^{- ξ^{2}}$ とする。 $⟨ T^, φ ⟩$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】規約は $e^{- i x ξ}$ なので、 $1^= 2 π δ$ 、 $sgn = - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ がそのまま使える。

【手順 2】 $T = 1 + sgn$ はすでに基本の超関数の和になっている。

【手順 3】線形性より $T^= 2 π δ - 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ 。

【手順 4】各項を $φ$ に作用させる。
$⟨ 2 π δ, φ ⟩ = 2 π φ (0) = 2 π$ 。
$⟨ p.v. \frac{1}{ξ}, φ ⟩ = lim_{ε \to + 0} \int_{∣ ξ ∣ > ε} \frac{( 1 + ξ ) e ^{- ξ^{2}}}{ξ} d ξ = lim_{ε \to + 0} \int_{∣ ξ ∣ > ε} \frac{e ^{- ξ^{2}}}{ξ} d ξ + \int_{R} e^{- ξ^{2}} d ξ$ 。第 1 項は被積分関数が奇関数で積分範囲が対称なので $0$ 、第 2 項はガウス積分で $π$ 。よって $⟨ p.v. \frac{1}{ξ}, φ ⟩ = π$ 。

以上より $⟨ T^, φ ⟩ = 2 π - 2 i π$ 。

（検算: $⟨ T, φ^⟩ = 2 \int_{0}^{\infty} φ^(x) d x$ で、 $φ^(x) = π e^{- x^{2} /4} - \frac{i π}{2} x e^{- x^{2} /4}$ から $2 (π - \frac{i π}{2} \cdot 2) = 2 π - 2 i π$ となり一致する。）

答え: $2 π - 2 π i$

よくある誤り

$1^= δ$ としてしまう誤り。正しくは、規約 $f^(ξ) = \int f (x) e^{- i x ξ} d x$ では逆変換に $\frac{1}{2 π}$ が付くため $1^= 2 π δ$ 。 $1$ になるのは $δ^$ のほう（規約 $e^{- 2 π i x ξ}$ なら $1^= δ$ と係数が変わる）
$sgn = \frac{2}{i ξ}$ を普通の関数として扱い、 $\int \frac{2}{i ξ} φ (ξ) d ξ$ をそのまま積分してしまう誤り。 $\frac{1}{ξ}$ は $0$ の近くで積分できないので、正しくは $- 2 i p.v. \frac{1}{ξ}$ として $lim_{ε \to + 0} \int_{∣ ξ ∣ > ε}$ で計算する
$i ξ sgn = 2$ から割り算だけで答えを決めてしまう誤り。 $ξ S = 0$ をみたす超関数には $S = cδ$ もあるので、この式だけでは $- 2 i p.v. \frac{1}{ξ} + cδ$ までしか決まらない。 $sgn$ が奇なので変換も奇であることなどから $c = 0$ を確かめる必要がある
$x = 2 π δ^{'}$ や $- 2 π i δ^{'}$ と係数・符号を間違える誤り。正しくは $x T = i (T^)^{'}$ より $x = i (2 π δ)^{'} = 2 π i δ^{'}$ で、 $⟨ 2 π i δ^{'}, φ ⟩ = - 2 π i φ^{'} (0)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
急減少関数 $φ \in S (R)$ のフーリエ変換を
$φ^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} φ (x) e^{- i x ξ} d x$
で定め、緩増加超関数 $T \in S^{'} (R)$ のフーリエ変換 $T^$ を $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ $(φ \in S (R))$ で定める。
多項式 $f (x) = 3 + 2 x$ を緩増加超関数とみなし、そのフーリエ変換 $f^$ を $φ (ξ) = e^{- (ξ - 1)^{2}}$ に作用させた値 $⟨ f^, φ ⟩$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位、 $e$ は自然対数の底である。