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フーリエ解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学フーリエ解析

急減少関数 $φ \in S (R)$ のフーリエ変換を
$φ^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} φ (x) e^{- i x ξ} d x$
で定め、緩増加超関数 $T \in S^{'} (R)$ のフーリエ変換 $T^$ を $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ $(φ \in S (R))$ で定める。

多項式 $f (x) = 3 + 2 x$ を緩増加超関数とみなし、そのフーリエ変換 $f^$ を $φ (ξ) = e^{- (ξ - 1)^{2}}$ に作用させた値 $⟨ f^, φ ⟩$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位、 $e$ は自然対数の底である。

この問題で使うもの

緩増加超関数のフーリエ変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

緩増加超関数のフーリエ変換の定義 $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ を使い、 $1^$ と $x^$ を求めてから線形性で $f^$ を組み立てる。

ヒント 2

反転公式から $\int φ^(x) d x = 2 π φ (0)$ 、それを $ξ$ で微分した式から $\int x φ^(x) d x = - 2 π i φ^{'} (0)$ が出る。つまり $1^= 2 π δ$ 、 $x^= 2 π i δ^{'}$ 。

ヒント 3

$⟨ f^, φ ⟩ = 6 π φ (0) - 4 π i φ^{'} (0)$ となる。あとは $φ (0)$ と $φ^{'} (0)$ を計算して代入する。

答えと解説

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\frac{( 6 - 8 i ) π}{e}

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解説を読む

方針. 定義 $⟨ T^, φ ⟩ = ⟨ T, φ^⟩$ から $1^$ と $x^$ を求め、線形性で $f^$ を求めてから $φ$ に作用させる。

$1^$ の計算. 反転公式 $φ (ξ) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} φ^(x) e^{i x ξ} d x$ で $ξ = 0$ とおくと $\int φ^(x) d x = 2 π φ (0)$ 。よって
$⟨ 1^, φ ⟩ = ⟨ 1, φ^⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} φ^(x) d x = 2 π φ (0) = ⟨ 2 π δ, φ ⟩$
となり、 $1^= 2 π δ$ 。

$x^$ の計算. 反転公式を $ξ$ で微分すると $φ^{'} (ξ) = \frac{1}{2 π} \int i x φ^(x) e^{i x ξ} d x$ 。 $ξ = 0$ とおいて $\int x φ^(x) d x = \frac{2 π}{i} φ^{'} (0) = - 2 π i φ^{'} (0)$ 。よって
$⟨ x^, φ ⟩ = ⟨ x, φ^⟩ = - 2 π i φ^{'} (0) = 2 π i ⟨ δ^{'}, φ ⟩$
（ $⟨ δ^{'}, φ ⟩ = - φ^{'} (0)$ を使った）。すなわち $x^= 2 π i δ^{'}$ 。

$f^$ . 線形性から
$f^= 3 \cdot 2 π δ + 2 \cdot 2 π i δ^{'} = 6 π δ + 4 π i δ^{'} .$
したがって
$⟨ f^, φ ⟩ = 6 π φ (0) - 4 π i φ^{'} (0) .$

$φ$ の値. $φ (ξ) = e^{- (ξ - 1)^{2}}$ より $φ (0) = e^{- 1}$ 。 $φ^{'} (ξ) = - 2 (ξ - 1) e^{- (ξ - 1)^{2}}$ より $φ^{'} (0) = 2 e^{- 1}$ 。

結論.
$⟨ f^, φ ⟩ = \frac{6 π}{e} - 4 π i \cdot \frac{2}{e} = \frac{( 6 - 8 i ) π}{e} .$

別解

定義より $⟨ f^, φ ⟩ = ⟨ f, φ^⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} (3 + 2 x) φ^(x) d x$ 。フーリエ反転公式 $\int_{- \infty}^{\infty} φ^(x) e^{i x y} d x = 2 π φ (y)$ を用いる。

(1) $y = 0$ とおくと $\int φ^(x) d x = 2 π φ (0)$ 。
(2) 両辺を $y$ で微分して $y = 0$ とおくと $\int i x φ^(x) d x = 2 π φ^{'} (0)$ なので $\int x φ^(x) d x = - 2 π i φ^{'} (0)$ 。

よって $⟨ f^, φ ⟩ = 3 \cdot 2 π φ (0) + 2 \cdot (- 2 π i) φ^{'} (0) = 6 π φ (0) - 4 π i φ^{'} (0)$ 。

$φ (ξ) = e^{- (ξ - 1)^{2}}$ より $φ (0) = e^{- 1}$ 、 $φ^{'} (ξ) = - 2 (ξ - 1) e^{- (ξ - 1)^{2}}$ より $φ^{'} (0) = 2 e^{- 1}$ 。

$⟨ f^, φ ⟩ = 6 π e^{- 1} - 8 π i e^{- 1} = \frac{( 6 - 8 i ) π}{e}$ 。

検算: $f^= 2 π (3 δ + 2 i δ^{'})$ であり、 $⟨ δ^{'}, φ ⟩ = - φ^{'} (0)$ なので $2 π (3 e^{- 1} + 2 i \cdot (- 2 e^{- 1})) = 2 π (3 - 4 i) / e$ となり一致する。

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