フーリエ解析の問題

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。この規約では、$f,g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対してプランシュレルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。また、区間 $[-1,1]$ の指示関数 $1_{[-1,1]}$ と関数 $e^{-|x|}$ について
$$\widehat{1_{[-1,1]}}(\xi )=\frac{2\sin \xi }{\xi },\widehat{e^{-|x|}}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$$
である（$\xi =0$ では左の式の値は $2$ とする）。これらを用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $\xi =0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。このときパーセバルの等式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$ が成り立つ。これを用いて、積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin 2\xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ のフーリエ変換 $\hat{f}$ を求め、プランシュレルの等式を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\xi }^2}{(1+{\xi }^2{)}^4}d\xi$$ の値を求めよ。

急減少関数 $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、緩増加超関数 $T\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ のフーリエ変換 $\hat{T}$ を $⟨\hat{T},\phi ⟩=⟨T,\hat{\phi }⟩$ $(\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}))$ で定める。

多項式 $f(x)=3+2x$ を緩増加超関数とみなし、その フーリエ変換 $\hat{f}$ を $\phi (\xi )=e^{-(\xi -1{)}^2}$ に作用させた値 $⟨\hat{f},\phi ⟩$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位、$e$ は自然対数の底である。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array},g(x)=x({\pi }^2-x^2)$$
で定める。複素フーリエ係数を
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$$
とし、内積型のパーセバルの等式
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\overline{d_n}$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の和を求めよ。