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仕事・エネルギーと運動量の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量

なめらかな水平な床の上を、発射装置を取りつけた台車（発射装置を含めた質量 $9 m$ ）が、質量 $m$ の小球を載せて、一体となって右向きに速さ $v_{0}$ で一直線上を進んでいる。ある瞬間、発射装置が小球を水平右向き（進む向き）に打ち出した。打ち出した直後、台車から見た小球の速度は水平右向きで大きさ $u$ であった。打ち出した直後の、床に対する台車の速度を求めよ。ただし、右向きを正とし、運動はすべて同じ一直線上で起こるものとする。床と台車のあいだの摩擦と空気抵抗は無視する。

9 m

m

v_{0}

打ち出す前のようす

この問題で使うもの

相対速度を含む分裂（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小球の速度が「台車から見た速度」で与えられていることに注目し、相対速度を使って床に対する速度を表してから、運動量保存則を使いましょう。

ヒント 2

打ち出した直後の台車の速度を $V$ とすると、床に対する小球の速度は $V + u$ と書けます。打ち出す前の全体の運動量は $10 m v_{0}$ です。

ヒント 3

運動量保存則は $10 m v_{0} = 9 m V + m (V + u)$ となります。これを $V$ について解きます。

答えと解説

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v_{0} - \frac{u}{10}

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解説を読む

方針　小球の速度は「台車から見た速度（相対速度）」で与えられているので、まず床に対する小球の速度を台車の速度で表し、それを運動量保存則に代入します。

手順 1：求める速度を文字でおく
打ち出した直後の、床に対する台車の速度を $V$ （右向きを正）とします。

手順 2：相対速度から床に対する小球の速度を表す
台車から見た小球の速度が右向きに $u$ なので、床に対する小球の速度は、台車の速度に相対速度を加えて
$V + u$
と表せます（相対速度 = 相手の速度 − 観測者の速度より、 $(小球の速度) - V = u$ ）。

手順 3：運動量保存則を立てる
水平方向には、台車と小球の系に外力がはたらきません（床はなめらかで、空気抵抗も無視します。重力と垂直抗力は鉛直方向の力です）。発射装置が小球を押す力と小球が装置を押し返す力は作用・反作用の内力なので、水平方向の運動量の和は保存します。打ち出す前は全体（質量 $9 m + m = 10 m$ ）が速さ $v_{0}$ で進んでいたので
$10 m v_{0} = 9 m V + m (V + u)$

手順 4： $V$ について解く
両辺を $m$ で割ると
$10 v_{0} = 9 V + V + u = 10 V + u$
$10 V = 10 v_{0} - u$
$V = v_{0} - \frac{u}{10}$

よって、打ち出した直後の台車の速度は $v_{0} - \frac{u}{10}$ です（小球を前に打ち出した反動で、台車は少し遅くなります）。

別解

右向きを正とする。台車の打ち出し直後の床に対する速度を $V$ とする。台車から見た小球の相対速度が $u$ （右向き）なので、床に対する小球の速度は $V + u$ である。

水平方向に外力はないので、運動量が保存される。
$(9 m + m) v_{0} = 9 m V + m (V + u)$
$10 m v_{0} = 10 m V + m u$
$V = v_{0} - \frac{u}{10}$

検算： $u = 0$ のとき $V = v_{0}$ となり、小球は台車に対して動かず速度は変わらないので妥当。また $V = v_{0} - 0.1 u$ のとき小球は $v_{0} + 0.9 u$ である。運動量は $9 m (v_{0} - 0.1 u) + m (v_{0} + 0.9 u) = 10 m v_{0} - 0.9 m u + 0.9 m u = 10 m v_{0}$ となり、保存されている。

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