仕事・エネルギーと運動量の問題

ばねの伸びを $x$（縮みは負）とし、$a=\frac{\mu mg}{k}$ とおく。はじめの伸びは $x_0=\frac{9}{2}a$ である。

動き出す条件・止まる条件. 小物体が速さ $0$ の瞬間に位置 $x$ にあるとき、ばねの力の大きさは $k|x|$、最大静止摩擦力は $\frac{3}{2}\mu mg=\frac{3}{2}ka$。したがって $|x|>\frac{3}{2}a$ なら再び動き出し、$|x|\le \frac{3}{2}a$ ならそこで静止したままになる。$x_0=\frac{9}{2}a>\frac{3}{2}a$ なので、はじめに動き出す。

片道ごとのエネルギー収支. 小物体が一方向に動いている間、床からの垂直抗力は $mg$ なので動摩擦力の大きさは $\mu mg$ で一定であり、向きは運動と逆向きである。動摩擦力は非保存力で、その仕事の分だけ力学的エネルギー（ここではばねの弾性エネルギーと運動エネルギーの和）が減る。速さ $0$ の位置 $x_1>0$ から、反対側で次に速さ $0$ となる位置 $-x_2$（$x_2>0$）まで動いたとすると、移動距離は $x_1+x_2$ なので
$$\frac{1}{2}k{x}_1^2-\frac{1}{2}k{x}_2^2=\mu mg(x_1+x_2).$$
両辺を $\frac{1}{2}k(x_1+x_2)$ で割ると $x_1-x_2=\frac{2\mu mg}{k}=2a$、つまり片道ごとに折り返し点のばねの伸び（縮み）の大きさが $2a$ ずつ小さくなる。

折り返し点の列.
- 1 回目の片道: 伸び $\frac{9}{2}a$ から反対側の縮み $\frac{9}{2}a-2a=\frac{5}{2}a$ へ。$\frac{5}{2}a>\frac{3}{2}a$ なので再び動き出す。
- 2 回目の片道: 縮み $\frac{5}{2}a$ から伸び $\frac{5}{2}a-2a=\frac{1}{2}a$ へ。$\frac{1}{2}a\le \frac{3}{2}a$ なので、ここで静止する。

道のり. 移動した道のりは
$$\left(\frac{9}{2}a+\frac{5}{2}a\right)+\left(\frac{5}{2}a+\frac{1}{2}a\right)=7a+3a=10a=\frac{10\mu mg}{k}.$$

（確認: 全体のエネルギー収支 $\frac{1}{2}k{\left(\frac{9}{2}a\right)}^2-\frac{1}{2}k{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{1}{2}k{a}^2\cdot 20=10k{a}^2$ が、動摩擦力の仕事の大きさ $\mu mg\times 10a=10k{a}^2$ と一致する。）

$d=\frac{\mu mg}{k}$ とおく。自然の長さの位置を原点とし、伸びる向きを正とする。初めの位置は $x_0=\frac{9}{2}d$。

【動き出すか】ばねの力は $k{x}_0=\frac{9}{2}\mu mg$ で、最大静止摩擦力 $\frac{3}{2}\mu mg$ より大きいので動き出す。

【第1の運動（壁に近づく向き）】動摩擦力は $\mu mg$ で、伸びる向き（正）にはたらく。力のつり合いの位置（振動の中心）は $kx+(-)$ ではなく、$-kx+\mu mg=0$ より $x=d$。中心 $x=d$ まわりの単振動で、初めの振幅は $\frac{9}{2}d-d=\frac{7}{2}d$。速さが 0 になるのは中心の反対側 $x_1=d-\frac{7}{2}d=-\frac{5}{2}d$（縮み）。移動距離は $\frac{9}{2}d-\left(-\frac{5}{2}d\right)=7d$。

（エネルギーで確認：$\frac{1}{2}k{x}_0^2-\frac{1}{2}k{x}_1^2=\mu mg\cdot 7d$。左辺 $=\frac{k}{2}\left(\frac{81}{4}-\frac{25}{4}\right)d^2=14k{d}^2$、右辺 $=7\mu mgd=7k{d}^2$…ではなく $\mu mg=kd$ なので右辺 $=7kd\cdot d=7k{d}^2$。左辺は $\frac{k}{2}\cdot 14d^2=7k{d}^2$ で一致。）

【再び動くか】$x_1=-\frac{5}{2}d$ でのばねの力は $k\cdot \frac{5}{2}d=\frac{5}{2}\mu mg>\frac{3}{2}\mu mg$ なので、再び動き出す（伸びる向きへ）。

【第2の運動】動摩擦力は負の向き。中心は $x=-d$。振幅は $-d-\left(-\frac{5}{2}d\right)=\frac{3}{2}d$ なので、止まる位置は $x_2=-d+\frac{3}{2}d=\frac{1}{2}d$。移動距離は $\frac{1}{2}d+\frac{5}{2}d=3d$。

【再び動くか】$x_2=\frac{1}{2}d$ でのばねの力は $\frac{1}{2}\mu mg<\frac{3}{2}\mu mg$ なので、ここで静止する。

【道のりの合計】$7d+3d=10d=\frac{10\mu mg}{k}$。

（検算：エネルギーで全体を見ると、第2の運動は $\frac{1}{2}k{\left(\frac{5}{2}d\right)}^2-\frac{1}{2}k{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2=\frac{k}{2}\cdot 6d^2=3k{d}^2=\mu mg\cdot 3d$ で一致。）