点電荷の電位と電位の重ね合わせ

電位とは、「基準の点からその点まで、$+1\mathrm{C}$ の電荷を、静電気力とつり合う外力でゆっくり運ぶときに外力がする仕事」、つまり $+1\mathrm{C}$ あたりの位置エネルギーです。重力の $mgh$ が「重力に逆らって持ち上げる仕事」だったのと同じ考え方です。点電荷 $Q(>0)$ から距離 $x$ の点では、$+1\mathrm{C}$ は外向きに $k\frac{Q}{x^2}$ の力を受けます。まず、$Q$ を通る直線に沿って距離 $R$ の点から距離 $r(r<R)$ の点まで運ぶ仕事を求めます。力が距離で変わるので、$r=x_0<x_1<\cdots <x_n=R$ と細かく区切ります。$x_i$ から $x_{i-1}$ までの区間では力は $k\frac{Q}{x_i^2}$ と $k\frac{Q}{x_{i-1}^2}$ の間にあるので、この区間の本当の仕事は $k\frac{Q}{x_i^2}(x_i-x_{i-1})$ 以上 $k\frac{Q}{x_{i-1}^2}(x_i-x_{i-1})$ 以下です。ここで $k\frac{Q}{x_{i-1}{x}_i}$ もこの 2 つの力の間の値なので、これを使った値 $k\frac{Q}{x_{i-1}{x}_i}(x_i-x_{i-1})=kQ\left(\frac{1}{x_{i-1}}-\frac{1}{x_i}\right)$ も同じ範囲に入ります。この値をわざわざ選ぶのは、全区間で足すと途中の項が次々に打ち消し合い、区切り方によらず $kQ\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)$ という同じ値になるからです。本当の仕事の合計もこの値も、「各区間の小さい方の見積もりの合計」と「大きい方の見積もりの合計」の間にあります。区切りを細かくすると、2 つの見積もりの合計の差はいくらでも小さくなります。そのため、区切り方によらない値 $kQ\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)$ が、本当の仕事にぴったり一致します。

無限遠を基準にするには、この結果で $R$ を限りなく大きくします。$\frac{1}{R}$ は限りなく $0$ に近づくので、仕事は $k\frac{Q}{r}$ に近づきます。これが $V=k\frac{Q}{r}$ です（$r>0$。電荷のある点そのものでは考えません）。$Q<0$ なら $+1\mathrm{C}$ は引き寄せられるので外力の仕事は負になり、式は $Q$ に負の値を入れればそのまま成り立ちます。ただし、ここまでは直線に沿って運んだ場合です。実は、点電荷の静電気力による仕事は、運ぶ経路によらず始点と終点の距離だけで決まります（このような力を保存力といいます。重力や弾性力も同じ仲間です）。理由は次のとおりです。力は $Q$ を中心とする放射状の向きなので、$Q$ からの距離を変えずに動く部分（$Q$ を中心とする球面に沿った移動）では、力と移動の向きが垂直で仕事は $0$ です。どんな経路も「距離が変わる部分」と「球面に沿う部分」を細かくつないだ階段状の道で近似できるので、仕事に効くのは距離が変わる部分だけです。その合計は、直線に沿って運んだときと同じになります。したがって、どの経路で無限遠から運んでも仕事は $k\frac{Q}{r}$ です。距離の 1 乗に反比例する点が、電場の $k\frac{Q}{r^2}$ と違うところです。

固定された電荷 $Q_1,Q_2,\dots$ が複数あるときは、$+1\mathrm{C}$ が受ける力は各電荷からの力のベクトル和です。和の力がする仕事は、各力がする仕事の和に等しくなります。上で見たように、各電荷 $Q_i$ の力に逆らう仕事は、経路に関係なく $k\frac{Q_i}{r_i}$ です（$r_i$ はその点から $Q_i$ までの距離）。仕事は向きをもたない数（スカラー）なので、電位は $V=k\frac{Q_1}{r_1}+k\frac{Q_2}{r_2}+\cdots$ と符号つきで足すだけで求まります。また、電位は $+1\mathrm{C}$ あたりの位置エネルギーなので、電荷 $q$ を置いたときの位置エネルギーは $U=qV$ です。