静電気力がする仕事とエネルギー保存

電荷 $q$ が点 A から点 B へ移るときに静電気力がする仕事 $W = q (V_{A} - V_{B})$ を求め、外力の仕事や運動エネルギーの変化と結びつけて、荷電粒子の速さや外力がした仕事を求められる

前提

点電荷の電位と電位の重ね合わせ（高校物理電場と電位・コンデンサー）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

この技能までの道筋（51 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
点電荷の電位と電位の重ね合わせ（高校物理電場と電位・コンデンサー）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

電荷 $q$ が点 A から点 B へ移るとき、静電気力がする仕事は 2 点の電位だけで $W = q (V_{A} - V_{B})$ と求められます。途中の道筋には関係しません。この仕事を運動エネルギーと仕事の関係に組み込むと、電場の中で加速・減速される荷電粒子の速さがわかります。また、電荷をゆっくり運ぶときに外力がした仕事も求められます。電子銃、点電荷に近づく粒子、平行板の間の粒子など、電場の中の運動を考える場面で広く使います。

なぜそうしてよいのか

一様な電場 $E$ の中で、電荷 $q$ を電場の向きに距離 $d$ 動かすとき、静電気力がする仕事は $W = q E d$ でした。電位は電場の向きに進むほど低くなるので、始点 A と終点 B の電位差は $V_{A} - V_{B} = E d$ です。よって $W = q (V_{A} - V_{B})$ と書き直せます。さらに $U = q V$ を使うと $W = q V_{A} - q V_{B} = U_{A} - U_{B}$ となります。つまり、静電気力がする仕事は「静電気力による位置エネルギーの減少分」です。これは、重力がする仕事が $m g h_{A} - m g h_{B}$ になるのと同じ形です。

静電気力は重力と同じく、する仕事が道筋によらず始点と終点の位置だけで決まる力です。だからこそ、各点に位置エネルギー $U = q V$ を一つずつ割り当てられます。その結果、一様でない電場（点電荷のまわりなど）でも $W = q (V_{A} - V_{B})$ がそのまま成り立ちます。点電荷の電位 $V = k \frac{Q}{r}$ を使えば、力の大きさが場所ごとに変わる場合でも仕事を計算できます。

この仕事を運動エネルギーと仕事の関係 $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = W_{静電気力} + W_{外力}$ に入れれば、エネルギーの収支が立ちます。静電気力しか仕事をしないときは、 $\frac{1}{2} m v^{2} + q V$ が一定に保たれます。外力で電荷をゆっくり（運動エネルギーを変えずに）運ぶときは、左辺が $0$ になります。このとき $W_{外力} = - W_{静電気力} = q (V_{B} - V_{A})$ です。

手順

始点 A と終点 B を決め、それぞれの電位 $V_{A}$ , $V_{B}$ を求める。点電荷なら、無限遠を基準として $V = k \frac{Q}{r}$ の和をとる。一様電場なら、基準点を決めたうえで電位を求めるか、電位差 $V_{A} - V_{B} = E d$ （電場の向きに距離 $d$ 進むと電位が $E d$ 下がる）として使う
静電気力がする仕事を $W = q (V_{A} - V_{B})$ で求める。 $q$ は符号つきで代入する（電子なら $q = - e$ ）
静電気力以外に仕事をする力（外力など）があれば、その仕事も求める
運動エネルギーと仕事の関係 $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = W + W_{外力}$ を立て、求めたい量（速さや外力の仕事）について解く。ゆっくり運ぶ場合は左辺を $0$ とする

例題

原点 O に正の点電荷 $Q$ が固定されている。O から距離 $a$ の点 A に、質量 $m$ 、正の電荷 $q$ をもつ小球を置き、静かにはなした。小球は O から遠ざかる向きに直線上を動いた。O から距離 $2 a$ の点 B を通過するときの小球の速さを求めよ。クーロンの法則の比例定数を $k$ とし、電位の基準は無限遠とする。重力と空気抵抗は無視する。

例題の解答

手順1：A と B の電位を求めます。点電荷 $Q$ による電位なので、 $V_{A} = k \frac{Q}{a}$ 、 $V_{B} = k \frac{Q}{2 a}$ です。

手順2：静電気力がする仕事は次のとおりです。 $W = q (V_{A} - V_{B}) = q (\frac{k Q}{a} - \frac{k Q}{2 a}) = \frac{k q Q}{2 a}$ $q > 0$ , $Q > 0$ なので $W > 0$ です。小球は反発されて加速されるので、この符号は運動の様子と合っています。

手順3：重力は無視するので、静電気力以外に仕事をする力はありません。

手順4：はじめは静止しているので、B での速さを $v$ とすると次の式が成り立ちます。 $\frac{1}{2} m v^{2} - 0 = \frac{k q Q}{2 a}$ これを解くと $v^{2} = \frac{k q Q}{ma}$ です。 $v > 0$ より $v = \frac{k q Q}{ma}$ となります。

答え: $\frac{k q Q}{ma}$

よくある誤り

引く順序を逆にして $W = q (V_{B} - V_{A})$ としてしまう誤り。正しくは、静電気力の仕事は位置エネルギーの減少分なので $W = q (V_{A} - V_{B})$ （始点の電位から終点の電位を引く）です。 $q (V_{B} - V_{A})$ になるのは、ゆっくり運ぶときの外力の仕事のほうです。
負電荷の符号を落とす誤り。例えば電子（電荷 $- e$ ）が電位 $0$ の点から電位 $V (> 0)$ の点へ動くとき、電荷の符号を落として $W = e (0 - V) = - e V$ としてしまう。正しくは $q = - e$ を代入して $W = (- e) (0 - V) = + e V > 0$ となり、電子は加速されます（電子は電位の高いほうへ引かれる）。
点電荷のまわりでも $W = q E d$ を使ってしまう誤り。例えば $E = k \frac{Q}{a ^{2}}$ と距離 $a$ を掛けて $W = \frac{k q Q}{a}$ とするのは誤りです。点電荷の電場は場所によって大きさが変わるので、 $W = q E d$ は一様な電場でしか使えません。正しくは電位 $V = k \frac{Q}{r}$ を使って $W = q (V_{A} - V_{B})$ とします。
電位の代わりに電場の式を入れてしまう誤り。例えば $V_{A} = k \frac{Q}{a ^{2}}$ とするのは誤りです。正しくは、点電荷の電位は $V = k \frac{Q}{r}$ （距離の 1 乗に反比例）です。 $k \frac{Q}{r ^{2}}$ は電場の大きさを表します。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

静電気力がする仕事とエネルギー保存

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題