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電場と電位・コンデンサーの問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電場と電位・コンデンサー

真空中に静電場があり、その中に電位が $V_{A}$ の点 $A$ と、電位が $V_{B}$ の点 $B$ がある（ $V_{B} > V_{A}$ ）。質量 $m$ 、電気量 $q$ （ $q > 0$ ）の荷電粒子が、点 $A$ を速さ $v_{0}$ で通過したあと、静電気力だけを受けて運動し、点 $B$ に達した。重力は無視する。また、 $v_{0}^{2} > \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$ であり、粒子は点 $B$ を通過するとする。点 $B$ での粒子の速さ $v$ を、 $m$ , $q$ , $v_{0}$ , $V_{A}$ , $V_{B}$ を用いて表せ。

A

B

v_{0}

電位

V_{A}

電位

V_{B}

粒子の道すじは描いていません

この問題で使うもの

静電気力がする仕事とエネルギー保存（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

静電気力がする仕事 $W = q (V_{A} - V_{B})$ を求め、運動エネルギーと仕事の関係に結びつけます。

ヒント 2

粒子には静電気力しかはたらかないので、 $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = q (V_{A} - V_{B})$ が成り立ちます。 $V_{B} > V_{A}$ なので、この仕事は負になります。

ヒント 3

両辺に $\frac{2}{m}$ をかけると $v^{2} = v_{0}^{2} + \frac{2 q ( V _{A} - V _{B} )}{m}$ となります。あとは $v > 0$ に注意して $v$ を求めます。

答えと解説

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v_{0}^{2} - \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}

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解説を読む

1. 静電気力がする仕事を求める

電荷 $q$ が点 $A$ から点 $B$ へ移るとき、静電気力がする仕事は、途中の道すじによらず
$W = q (V_{A} - V_{B})$
で求められる。いまは $V_{B} > V_{A}$ かつ $q > 0$ なので $W < 0$ である。正の電荷が電位の高い方へ進むので、静電気力は運動を妨げる向きにはたらき、負の仕事をする。

2. 運動エネルギーと仕事の関係を使う

粒子にはたらく力は静電気力だけである（重力は無視する）。したがって、運動エネルギーの変化は静電気力がした仕事に等しい。
$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = q (V_{A} - V_{B})$

3. $v$ について解く

両辺に $\frac{2}{m}$ をかけて整理する。
$v^{2} = v_{0}^{2} + \frac{2 q ( V _{A} - V _{B} )}{m} = v_{0}^{2} - \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$
条件 $v_{0}^{2} > \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$ より右辺は正である。 $v > 0$ なので
$v = v_{0}^{2} - \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$

（別の見方）静電気力による位置エネルギー $U = q V$ を使うと、力学的エネルギー保存 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + q V_{A} = \frac{1}{2} m v^{2} + q V_{B}$ となり、同じ式が得られる。電位が高い点ほど正電荷の位置エネルギーが大きいので、粒子は減速する。

別解

静電気力は保存力なので、力学的エネルギー保存則（静電気力による位置エネルギー $q V$ ）を用いる。
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + q V_{A} = \frac{1}{2} m v^{2} + q V_{B}$
整理すると $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - q (V_{B} - V_{A})$
よって $v^{2} = v_{0}^{2} - \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$ 。
条件 $v_{0}^{2} > \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$ より右辺は正なので、 $v > 0$ として
$v = v_{0}^{2} - \frac{2 q ( V _{B} - V _{A} )}{m}$
検算： $q > 0$ で $V_{B} > V_{A}$ なので、粒子は高電位側へ進み、位置エネルギーが増えて運動エネルギーが減る。 $v < v_{0}$ となり、これと合致する。また $V_{B} = V_{A}$ のとき $v = v_{0}$ となり、これも妥当である。

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