固体化学と結晶学の問題

混晶半導体 ${\mathrm{In}}_x{\mathrm{Ga}}_{1-x}\mathrm{N}$（$0\le x\le 1$）は、組成 $x$ を変えることでバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ を調節できる。$E_{\mathrm{g}}$ は次の式で表されるとする。
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})+x{E}_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})-bx(1-x)$$
ここで $E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})=3.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})=0.70\mathrm{eV}$、ボーイングパラメーター $b=1.40\mathrm{eV}$ とする。

この混晶の光吸収端（バンド間吸収が始まる最も長い波長）を $450\mathrm{nm}$ にしたい。吸収端の光子エネルギーがバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ に等しいとみなして、必要な組成 $x$ を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、真空中の光速 $c=2.998\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、波長は真空中の値とする。

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

正方晶の結晶があり、格子定数は $a=b=0.400\mathrm{nm}$、$c=0.600\mathrm{nm}$（3 本の軸は互いに直交）である。この結晶の $(112)$ 面による X 線の 1 次の回折を、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の X 線で観測する。ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$（$d$ は面間隔、$\theta$ は X 線と格子面のなす角、$n$ は回折の次数）が成り立つとして、$n=1$ のときの $\sin \theta$ の値を有効数字 3 桁で求めよ。

イオン結晶中のイオンを、変形しない剛体球とみなす。半径 $r_{+}=0.074\mathrm{nm}$ の陽イオン $\mathrm{M}$ が、4 個の陰イオン ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$, ${\mathrm{X}}_4$（半径はどれも $r_{-}=0.184\mathrm{nm}$）に囲まれた 4 配位をとっている。4 個の陰イオンの中心は正四面体の頂点にあり、$\mathrm{M}$ の中心はその正四面体の中心にある。

剛体球どうしは重ならず、$\mathrm{M}$ と陰イオンの中心間距離は、この条件のもとでできるだけ小さくなるように配置されるとする。このとき、となり合う 2 個の陰イオン（たとえば ${\mathrm{X}}_1$ と ${\mathrm{X}}_2$）の表面どうしの最短距離（中心間距離から 2 つの半径を引いた値）は何 nm か。有効数字 3 桁で求めよ。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。