固体化学と結晶学の問題

元素 X の単体の結晶は、格子定数 $a=0.560\mathrm{nm}$ の立方晶で、ダイヤモンド型構造をとる。単位格子の 1 つの頂点を原点とし、単位格子の 3 本の辺に沿って座標軸をとる。座標を格子定数 $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子の中の X 原子（8 個）の位置は、次の 4 点
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
と、これら 4 点のそれぞれに $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ を加えた 4 点である。

この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。回折は、ミラー指数 $(hkl)$ の格子面によるブラッグ反射 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$）として起こるものとする。ここで $h,k,l$ は整数で $(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とし（$h,k,l$ のうちいくつかが 0 であってもよい）、高次の回折は指数を整数倍した $(hkl)$ として扱う。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ である。

すべての原子は同じ原子散乱因子 $f(\ne 0)$ をもち、構造因子 $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ が $0$ になる反射だけが観測されない（それ以外の反射はすべて観測できる）とする。また、$h^2+k^2+l^2$ の値が等しい反射は同じ回折角に重なるので 1 本の回折線と数える。

この測定で観測される回折線は何本か。

ある金属の結晶は面心立方格子をとり、立方体の単位格子（1 辺の長さ $a=0.360\mathrm{nm}$）の 8 個の頂点と 6 個の面の中心に、同じ種類の原子が 1 個ずつ位置している。この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。

立方晶の $(hkl)$ 面の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ で表され、回折はブラッグの条件 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす角度 $\theta$ で起こる（高次の回折は、指数 $(hkl)$ を整数倍した面の 1 次の回折として扱う）。ただし、構造因子が $0$ になる $(hkl)$ では回折は観測されない。

$0^{\circ }<2\theta <180^{\circ }$ の範囲に現れる回折ピークは何本か。ただし、$\theta$ の値が等しい回折は 1 本のピークとして数える。

ある単体の結晶は立方晶系に属し、格子定数を $a$ とする。単位格子（1 辺 $a$ の立方体）の 1 つの頂点を原点とし、3 本の辺に沿って座標軸をとり、座標を $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子中の原子の位置は次の 8 か所で、すべて同じ種類の原子である。
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),$$
$$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
この結晶の粉末に単一波長の X 線を当てて粉末 X 線回折を測定したところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ が最も小さい回折線は $\theta =14.2^{\circ }$ に現れた。

結晶構造因子が $0$ でない反射はすべて観測され、$0$ となる反射は観測されないものとする。また、面間隔が等しく同じ回折角に重なる反射（異なる指数 $hkl$ の組でも $h^2+k^2+l^2$ が等しいもの）は 1 本の回折線と数える。$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ の範囲に観測される回折線は全部で何本か。整数で答えよ。

イオン結晶中のイオンを、変形しない剛体球とみなす。半径 $r_{+}=0.074\mathrm{nm}$ の陽イオン $\mathrm{M}$ が、4 個の陰イオン ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$, ${\mathrm{X}}_4$（半径はどれも $r_{-}=0.184\mathrm{nm}$）に囲まれた 4 配位をとっている。4 個の陰イオンの中心は正四面体の頂点にあり、$\mathrm{M}$ の中心はその正四面体の中心にある。

剛体球どうしは重ならず、$\mathrm{M}$ と陰イオンの中心間距離は、この条件のもとでできるだけ小さくなるように配置されるとする。このとき、となり合う 2 個の陰イオン（たとえば ${\mathrm{X}}_1$ と ${\mathrm{X}}_2$）の表面どうしの最短距離（中心間距離から 2 つの半径を引いた値）は何 nm か。有効数字 3 桁で求めよ。

イオン結晶中の陽イオンと陰イオンを、変形しない剛体球とみなす。陽イオンの半径を $r_{+}=0.095\mathrm{nm}$、陰イオンの半径を $r_{-}=0.181\mathrm{nm}$ とする。

1 個の陽イオンのまわりに $n$ 個の陰イオンを、陰イオンの中心が次の図形の頂点にくるように配置する。陽イオンの中心は、その図形の中心（すべての頂点から等距離の点）にあるものとする。

• $n=3$: 正三角形
• $n=4$: 正四面体
• $n=6$: 正八面体
• $n=8$: 立方体

このとき、「陽イオンが $n$ 個の陰イオンすべてに接し、かつ陰イオンどうしが重ならない（接するか離れている）」という配置ができる $n$ を、$3,4,6,8$ の中からすべて求めよ。