レンズ・鏡でできる像

【近似の条件】ここでは、レンズの厚さを無視できる薄いレンズを考えます。また、光軸（レンズや鏡の中心を垂直に通る直線）の近くを、光軸とほぼ平行に進む光線だけを考えます。この条件のもとで、凸レンズに光軸と平行に入った光は、屈折して後方（物体と反対側）の1点に集まります。この点が焦点で、レンズの前後に、中心から同じ距離 $f$（焦点距離）のところにあります。作図には次の3本の光線を使います。(1) 光軸に平行に入った光は、屈折後に後方の焦点を通る。(2) レンズの中心を通る光は直進する。(3) 前方の焦点を通った光は、屈折後に光軸と平行に進む。物体の1点から出た光が、素子を通ったあと実際に1点に集まってできる像を実像といいます。実像はスクリーンに映せます。光が広がって進み、逆向きに延ばした線（延長線）が1点に集まって見えるだけの像を虚像といいます。虚像はスクリーンに映りません。

【凸レンズ・$a>f$（実像）】高さ $h$ の物体を、レンズの前方 $a$ の位置に光軸に垂直に立てます。後方 $b$ の位置に、高さ $h^{\prime }$ の倒立像ができたとします。まず、物体の先端から中心 O を通る光線を考えます。物体の先端・物体の根元・O の三角形と、像の先端・像の根元・O の三角形は、O での対頂角が等しい直角三角形なので相似です。よって $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{b}{a}$ です。次に、物体の先端から光軸に平行に出た光線を考えます。この光線は、レンズ上で光軸から高さ $h$ の点 P を通ります。そのあと後方の焦点 F' を通り、像の先端に達します。三角形 P-O-F'（直角を O にもち、2辺は $h$ と $f$）と、三角形「像の先端・像の根元・F'」（2辺は $h^{\prime }$ と $b-f$）は、F' での対頂角が等しい直角三角形なので相似です。よって $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{b-f}{f}$ です。2式を等しいとおくと $bf=ab-af$ となり、両辺を $abf$ で割って整理すると次の式が得られます。$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$倍率 $\frac{b}{a}=\frac{f}{a-f}$ は、$a>2f$ なら1より小さく、$a=2f$ なら1、$f<a<2f$ なら1より大きくなります。$a=f$ のときは、屈折後の光が平行になって交わらないので、像はできません。

【凸レンズ・$a<f$（虚像）】このとき屈折後の光は広がって進み、交わりません。しかし延長線は前方で交わり、そこに正立の虚像が見えます。像の位置をレンズの前方 $b^{\prime }$（$b^{\prime }>0$）、像の高さを $h^{\prime }$ とします。中心を通る光線（物体の先端・像の先端・O は一直線上）から $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{b^{\prime }}{a}$ です。平行光線は P（高さ $h$）と F' を通り、その延長線上に像の先端があります。三角形 P-O-F'（2辺は $h$ と $f$）と、三角形「像の先端・像の根元・F'」（2辺は $h^{\prime }$ と $b^{\prime }+f$）は相似です。よって $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{b^{\prime }+f}{f}$ です。2式から $b^{\prime }(f-a)=af$、つまり $b^{\prime }=\frac{af}{f-a}>0$ となり、倍率は $\frac{f}{f-a}>1$ です。一方、$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$ を解くと $b=\frac{af}{a-f}=-b^{\prime }$ になります。そこで「$b$ は後方を正とし、像が前方にできるときは負とする」と約束します。こう約束すると同じ式がそのまま使え、$b<0$ は前方の虚像を表します。

【凹レンズ】凹レンズは光を広げます。光軸に平行に入った光は、レンズの前方（物体と同じ側）にある焦点 F から出たかのように広がります。つまり凹レンズでは、平行光線の手がかりになる焦点が前方側にあります。像は前方の距離 $b^{\prime }$ の位置にできるとします。中心を通る光線から $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{b^{\prime }}{a}$ です。平行光線は P（高さ $h$）で屈折し、その延長線は F と P を結ぶ直線になります。像の先端はこの直線上にあります。三角形 F-O-P（2辺は $f$ と $h$）と、三角形「F・像の根元・像の先端」（2辺は $f-b^{\prime }$ と $h^{\prime }$）は、F で角を共有する直角三角形なので相似です。よって $\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{f-b^{\prime }}{f}$ です。2式を等しいとおくと $b^{\prime }f=af-a{b}^{\prime }$、つまり $b^{\prime }(a+f)=af$ となり、$$b^{\prime }=\frac{af}{a+f}$$です。$\frac{a}{a+f}<1$、$\frac{f}{a+f}<1$ より、$b^{\prime }$ は $f$ より短く、$a$ より短くなります。倍率は $\frac{b^{\prime }}{a}=\frac{f}{a+f}<1$ です。したがって像は、物体の位置によらず、前方の焦点より内側にできる正立・縮小の虚像です。

【鏡】鏡では、光は屈折ではなく反射（入射角＝反射角）で曲がります。凹面鏡に光軸と平行に入った光を考えます。反射点での法線は、球面の中心 C を通る半径の方向です。反射光が光軸と交わる点を F とすると、三角形 C-P-F は C と P での角がともに入射角に等しい二等辺三角形になります。光軸の近くの光線では FC≒FP≒PC/2 となるので、焦点距離は球面の半径 $R$ の半分 $f=\frac{R}{2}$ になります（光軸から遠い光線は鏡寄りで交わるので、この関係は光軸近くでの近似です）。凹面鏡は光を集めるので凸レンズと同じ判定、凸面鏡は光を広げるので凹レンズと同じ判定になります。ただし鏡では光が手前にはね返ります。そのため、実像は鏡の前（物体と同じ側）にでき、虚像は鏡の後ろにあるように見えます。