光学の問題

平行に向かい合わせた 2 枚の同じ鏡からなるファブリー・ペロー干渉計に、波長 $\lambda$ の単色の平面波が垂直に入射する。各鏡の（強度）反射率は $R=0.8$、透過率は $T=1-R=0.2$ で、鏡や鏡の間の媒質での吸収はないものとする。鏡の間を 1 往復するときの位相差を $\delta$ とすると、入射光の強度を $I_0$ として透過光の強度は
$$I_t=\frac{I_0}{1+F{\sin }^2(\delta /2)},F=\frac{4R}{(1-R{)}^2}$$
で表される。鏡の間隔を少しずつ変えて $\delta$ を変化させたとき、透過光の強度の最大値 $I_{\max }$ と最小値 $I_{\min }$ の比 $\frac{I_{\max }}{I_{\min }}$ を求めよ。

波長 $\lambda$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $\left(-\frac{b}{2}\le s\le \frac{b}{2}\right)$、スクリーン上の位置を $x$、二重スリットの間隔を $d$、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s+ds$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$$dI=I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi dx}{L\lambda }+\frac{2\pi ds}{R\lambda }\right)\right]ds$$
で与えられるとする（$I_0$ は正の定数）。光源の幅が $b=\frac{R\lambda }{2d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。

強度 $I_0$ の自然光（偏光していない光）を、理想的な 3 枚の偏光板 $P_1$, $P_2$, $P_3$ にこの順に垂直に通す。光の進む向きから見て、$P_2$ の透過軸は $P_1$ の透過軸から $30^{\circ }$、$P_3$ の透過軸は $P_1$ の透過軸から $90^{\circ }$ だけ同じ向きに回転している。理想的な偏光板は、透過軸に平行な電場の成分をすべて通し、垂直な成分をすべて吸収するものとする（反射は無視する）。$P_3$ を通過した光の強度を $I$ とするとき、$\frac{I}{I_0}$ を求めよ。

空気中で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=30\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_2$ を、光軸を共有して $d=10\mathrm{cm}$ 離して置き、光は $L_1$ から $L_2$ の向きに進む。近軸光線を、光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $\theta$ の組 $\left(\begin{array}{c}y\\ \theta \end{array}\right)$ で表し、距離 $d$ の自由伝搬の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right)$、焦点距離 $f$ の薄いレンズの光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/f& 1\end{array}\right)$ とする。$L_1$ の直前から $L_2$ の直後までの系全体の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ とし、系の合成焦点距離を $f=-\frac{1}{C}$ で定めるとき、$f$ は何 $\mathrm{cm}$ か。