くさび形の干渉とニュートンリング

くさび形のすき間の厚さを位置の 1 次式で表して、明線・暗線の間隔 $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ を求め、ニュートンリングでは $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ から環の半径を求められる

前提

薄膜の干渉（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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薄膜の干渉（高校物理波動）

説明

2 枚の平らなガラス板の一端を接触させ、他端に薄い紙などをはさむと、間にくさび形の空気層ができます。上から単色光を当てると、等間隔の明暗のしま模様が見えます。この技能を使うと、しまの間隔 $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ を求められます。また、平面ガラスに球面レンズを載せたときに見える同心円のしま（ニュートンリング）の半径も求められます。どちらも、すき間の厚さを位置の式で表し、薄膜の干渉の条件に代入するという考え方は同じです。

なぜそうしてよいのか

薄膜の干渉では、厚さ $d$ 、屈折率 $n$ の層に垂直に光が入ると、層の上面で反射した光と下面で反射した光の光路差は $2 n d$ でした。くさびやニュートンリングでは、場所によってすき間の厚さ $d$ が変わります。そのため、場所ごとに強め合ったり弱め合ったりして、しま模様ができます。くさびの場合、接触点から距離 $x$ の位置の厚さは、相似な直角三角形の比から $d = \frac{D}{L} x$ です（ $L$ は接触点からはさんだ物までの距離、 $D$ はその物の厚さ）。くさびの角は非常に小さいので、光はすき間の上面と下面の両方にほぼ垂直に当たるとみなせます。ガラスにはさまれた空気層では、上面（ガラス→空気、屈折率の大きい側から小さい側へ）の反射では位相は変わりません。下面（空気→ガラス、小さい側から大きい側へ）の反射では位相が $π$ ずれます。したがって反射光では、 $2 n d = mλ$ のとき暗線、 $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ のとき明線になります（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。

隣りあう暗線どうしでは $m$ が 1 違うので、厚さの差は $\frac{λ}{2 n}$ です。 $d$ は $x$ の 1 次式なので、厚さが $\frac{λ}{2 n}$ 増えるのに必要な $x$ の増分はどこでも同じで、 $Δ x \cdot \frac{D}{L} = \frac{λ}{2 n}$ が成り立ちます。これを解くと $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ となり、しまが等間隔になる理由もわかります。

ニュートンリングでは、半径 $R$ の球面と平面が 1 点で接しています。接点から水平に $r$ 離れた位置のすき間を $d$ とすると、球の中心からの距離について三平方の定理より $R^{2} = r^{2} + (R - d)^{2}$ が成り立ちます。展開すると $r^{2} = 2 R d - d^{2}$ です。 $d$ は $R$ に比べてきわめて小さいので、 $d^{2}$ を無視して $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ となります。これを暗環の条件 $2 n d = mλ$ に代入すると $2 n \cdot \frac{r ^{2}}{2 R} = mλ$ 、つまり $\frac{n r ^{2}}{R} = mλ$ なので $r^{2} = \frac{m R λ}{n}$ 、 $r = \frac{m R λ}{n}$ です。同様に明環の条件 $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ に代入すると $2 n \cdot \frac{r ^{2}}{2 R} = (m + \frac{1}{2}) λ$ より $r^{2} = \frac{( m + \frac{1}{2} ) R λ}{n}$ 、 $r = \frac{( m + \frac{1}{2} ) R λ}{n}$ です。厚さが $r$ の 1 次式ではなく $r^{2}$ に比例するため、半径は $m$ に比例し、外側ほど環の間隔が狭くなります。たとえば $R = 2.0 m$ 、 $λ = 6.0 \times 1 0^{- 7} m$ 、空気層（ $n = 1.0$ ）で中心から 3 番目の暗環（中心の暗点を $m = 0$ として $m = 3$ ）なら、 $r^{2} = \frac{3 \times 2.0 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{1.0} = 3.6 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ より $r \approx 1.9 \times 1 0^{- 3} m$ となります。

手順

すき間の厚さ $d$ を位置で表す。くさびなら $d = \frac{D}{L} x$ 、ニュートンリングなら $R^{2} = r^{2} + (R - d)^{2}$ から $d^{2}$ を無視して $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ （ $d ≪ R$ ）とする。
すき間の上面と下面での反射で、それぞれ位相が $π$ ずれるかどうかを屈折率の大小で調べる。ガラスにはさまれた空気層なら、ずれるのは下面だけである。
干渉の条件を立てる。片方の反射だけが $π$ ずれる場合、反射光では暗線が $2 n d = mλ$ 、明線が $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ となる（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。
くさびでは、隣りあうしまで $m$ が 1 違うことから厚さの差 $\frac{λ}{2 n}$ を求め、 $Δ x \cdot \frac{D}{L} = \frac{λ}{2 n}$ を解いて間隔 $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ を得る。
ニュートンリングでは、手順 1 の $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ を条件式に代入する。暗環は $2 n \cdot \frac{r ^{2}}{2 R} = mλ$ より $r = \frac{m R λ}{n}$ 、明環は $2 n \cdot \frac{r ^{2}}{2 R} = (m + \frac{1}{2}) λ$ より $r = \frac{( m + \frac{1}{2} ) R λ}{n}$ を得て、与えられた数値を代入する。

例題

2 枚の平らなガラス板を重ね、一方の端の辺どうしを接触させる。接触している辺から $0.10 m$ 離れた位置に、厚さ $3.0 \times 1 0^{- 5} m$ の薄い紙を辺と平行にはさんだ。2 枚のガラス板の間には、くさび形の空気層（屈折率 $1.0$ ）ができる。真上から波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を当て、真上から反射光を見ると、接触した辺に平行な暗線が等間隔に並んで見えた。ガラスの屈折率は空気より大きいものとする。隣りあう暗線の間隔は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 接触した辺から距離 $x$ の位置の空気層の厚さは $d = \frac{D}{L} x$ である。ここで $L = 0.10 m$ 、 $D = 3.0 \times 1 0^{- 5} m$ 。

手順 2: 空気層の上面（ガラス→空気）の反射では位相は変わらない。下面（空気→ガラス）の反射では位相が $π$ ずれる。ずれるのは片方だけである。

手順 3: したがって反射光の暗線の条件は、 $m = 0, 1, 2, \dots$ として $2 n d = mλ$ （ $n = 1.0$ ）である。

手順 4: 隣りあう暗線では $m$ が 1 違うので、厚さの差は $\frac{λ}{2 n}$ である。これを位置の間隔に直すと $Δ x \cdot \frac{D}{L} = \frac{λ}{2 n}$ より
$Δ x = \frac{λ L}{2 n D} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{- 7} \times 0.10}{2 \times 1.0 \times 3.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$
となる。（くさびの問題なので手順 5 は使わない。）

答え: $1.0 \times 1 0^{- 3}$

よくある誤り

隣りあうしまで厚さが $λ$ 違うとして $Δ x = \frac{λ L}{n D}$ としてしまう誤り。正しくは、光はすき間を往復するので光路差は $2 n d$ になる。厚さの差は $\frac{λ}{2 n}$ で、 $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ となる。
すき間を水などで満たすと、しまの間隔が広がると考えてしまう誤り。正しくは、 $Δ x = \frac{λ L}{2 n D}$ の分母に $n$ があるので、屈折率 $n > 1$ の液体を入れると間隔は $\frac{1}{n}$ 倍に狭くなる。
ニュートンリングで厚さを $d = \frac{r ^{2}}{R}$ として暗環の半径を $r = \frac{m R λ}{2 n}$ としたり、半径が $m$ に比例する（環が等間隔に並ぶ）としてしまう誤り。正しくは、 $R^{2} = r^{2} + (R - d)^{2}$ から $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ で、 $2 n \cdot \frac{r ^{2}}{2 R} = mλ$ より $r = \frac{m R λ}{n}$ 。半径は $m$ に比例するので、外側ほど環の間隔が狭い。
反射光で見たとき、接触点（ $d = 0$ ）が明るいと考えてしまう誤り。正しくは、片方の反射だけで位相が $π$ ずれるので、 $d = 0$ は $2 n d = 0 \cdot λ$ を満たす暗線（ニュートンリングでは中心が暗い点）になる。なお、透過光で見ると明暗は反射光と逆になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
水平な台の上に平らなガラス板 $B$ を置き、その上に平らなガラス板 $A$ を重ねる。2 枚の板は一方の端の直線 $O$ で接しており、 $O$ から水平に $10 cm$ 離れた位置に、 $O$ と平行に厚さ $50 μ m$ の薄い紙をはさんだ。これにより、 $A$ の下面と $B$ の上面のあいだに、くさび形のすき間ができる。このすき間を、屈折率 $1.40$ の透明な液体ですき間なく満たした。ガラスの屈折率は $1.50$ である。
真上から、真空中での波長が $560 nm$ の単色光を板に垂直に当て、真上から反射光を見たところ、 $O$ と平行な明暗の縞が等間隔に見えた。くさびの角は十分小さく、光はすき間の中でも板に垂直に進むとみなしてよい。また、干渉に関わるのは $A$ の下面で反射する光と $B$ の上面で反射する光だけとする。
隣り合う暗線の間隔は何 $mm$ か。有効数字 2 桁で求めよ。
$O$ 紙 $A$ $B$ 液体 $10 cm$
すき間の厚さは大きく描いています