測度論・実解析の問題

$g_n(x)=\frac{\log (1+n^x)}{\log n}$ とおく（$n\ge 2$ なので $\log n>0$）。

各点収束.
- $x>0$ のとき、$\log (1+n^x)=x\log n+\log (1+n^{-x})$ であり、$0<\log (1+n^{-x})\le \log 2$ だから
$$g_n(x)=x+\frac{\log (1+n^{-x})}{\log n}\to x(n\to \infty ).$$
- $x\le 0$ のとき、$0<n^x\le 1$ より $0<\log (1+n^x)\le \log 2$ なので $0<g_n(x)\le \frac{\log 2}{\log n}\to 0$。

よって $g_n(x)\to x^{+}=\max \{x,0\}$ が各点で成り立ち、被積分関数は $\frac{(x^{+}{)}^2}{(1+x^2{)}^2}$ に各点収束する。

優関数. $n\ge 2$ なので $\frac{\log 2}{\log n}\le 1$。上の評価から、$x>0$ では $0<g_n(x)\le x+1$、$x\le 0$ では $0<g_n(x)\le 1$。したがってすべての $x$ と $n\ge 2$ で
$$0\le \frac{g_n(x{)}^2}{(1+x^2{)}^2}\le \frac{(1+|x|{)}^2}{(1+x^2{)}^2}\le \frac{2(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2}{1+x^2}$$
（$(1+|x|{)}^2\le 2(1+x^2)$ を用いた）。右辺は $n$ によらず $\mathbb{R}$ 上可積分である（積分値 $2\pi$）。

優収束定理. 以上よりルベーグの優収束定理が使えて
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(x^{+}{)}^2}{(1+x^2{)}^2}dx={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}dx.$$
$\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{(1+x^2{)}^2}$ であり、${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}$、また $x=\tan \theta$ と置換して
$${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{4}.$$
よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}.$$

$f_n(x)=\frac{\log (1+n^x)}{\log n}$ とおく。\n点ごとの極限: $x>0$ のとき $f_n(x)=x+\frac{\log (1+n^{-x})}{\log n}\to x$。$x<0$ のとき $0<f_n(x)\le \frac{\log 2}{\log n}\to 0$。$x=0$ では $f_n(0)=\frac{\log 2}{\log n}\to 0$。よって $f_n(x)\to x_{+}=\max (x,0)$（全ての $x$ で）。\n優関数: $x\ge 0$ のとき $n^x\ge 1$ より $\log (1+n^x)\le \log (2n^x)=\log 2+x\log n$ で $0\le f_n(x)\le x+\frac{\log 2}{\log n}\le x+1$（$n\ge 2$）。$x<0$ のとき $0<f_n(x)\le \frac{\log 2}{\log n}\le 1$。したがって $f_n(x{)}^2\le (|x|+1{)}^2$ で、$\int \frac{(|x|+1{)}^2}{(1+x^2{)}^2}dx<\infty$（被積分関数は $|x|\to \infty$ で $O(x^{-2})$）。\n優収束定理により $\lim I_n={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}dx$。$x=\tan \theta$ と置換すると ${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\tan }^2\theta }{{\sec }^4\theta }{\sec }^2\theta d\theta ={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{4}$。\n検算: 部分積分で ${\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2{)}^2}dx={\int }_0^{\infty }\left[\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{(1+x^2{)}^2}\right]dx=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$ ✓。