この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

実数全体で定義された関数
$f (x) = {sin x 0 (∣ x ∣ ≦ π) (∣ x ∣ > π)$
を考える。 $f (x)$ のフーリエ変換を
$f^(ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- iω x} d x (ω は実数)$
で定める。 $f (x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f^(ω) e^{iω x} d ω$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $f^(ω)$ を求め、それを用いて広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} \frac{sin ( π ω ) sin \frac{π ω}{3}}{1 - ω ^{2}} d ω$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $ω = 1$ で連続になるように値を定めるものとする。

この問題で使うもの

フーリエ変換（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $f^(ω)$ を具体的に計算し、次に反転公式に適当な $x$ を代入して $I$ が現れるようにする。

ヒント 2

$sin x cos ω x$ は奇関数なので消え、 $f^(ω) = - 2 i \int_{0}^{π} sin x sin ω x d x$ となる。積和の公式と $sin (ω \pm 1) π = - sin π ω$ を使う。

ヒント 3

$f^(ω) = - \frac{2 i sin π ω}{1 - ω ^{2}}$ となる。反転公式に $x = \frac{π}{3}$ を代入し、被積分関数の奇関数部分が消えることを使って偶関数部分の積分を $I$ で表す。

答えと解説

答えを見る

\frac{3}{4} π

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

フーリエ変換の計算

$e^{- iω x} = cos ω x - i sin ω x$ であり、 $sin x cos ω x$ は奇関数なので $[- π, π]$ での積分は $0$ 、 $sin x sin ω x$ は偶関数である。よって
$f^(ω) = \int_{- π}^{π} sin x (cos ω x - i sin ω x) d x = - 2 i \int_{0}^{π} sin x sin ω x d x .$
$ω \neq = \pm 1$ のとき、積和の公式より
$\int_{0}^{π} sin x sin ω x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} {cos (ω - 1) x - cos (ω + 1) x} d x = \frac{1}{2} {\frac{sin ( ω - 1 ) π}{ω - 1} - \frac{sin ( ω + 1 ) π}{ω + 1}} .$
$sin (ω \mp 1) π = - sin π ω$ を用いると
$= \frac{1}{2} (- sin π ω) (\frac{1}{ω - 1} - \frac{1}{ω + 1}) = \frac{1}{2} (- sin π ω) \cdot \frac{2}{ω ^{2} - 1} = \frac{sin π ω}{1 - ω ^{2}} .$
したがって
$f^(ω) = - \frac{2 i sin π ω}{1 - ω ^{2}} .$
（ $ω = \pm 1$ では直接計算すると $f^(\pm 1) = \mp iπ$ となり、上の式の極限値と一致する。）

反転公式の利用

$x = \frac{π}{3}$ を反転公式に代入する。 $f (\frac{π}{3}) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ であり、
$f^(ω) e^{iω π /3} = - \frac{2 i sin π ω}{1 - ω ^{2}} (cos \frac{π ω}{3} + i sin \frac{π ω}{3}) = - \frac{2 i sin π ω cos \frac{π ω}{3}}{1 - ω ^{2}} + \frac{2 sin π ω sin \frac{π ω}{3}}{1 - ω ^{2}} .$
第1項は $ω$ の奇関数なので積分すると $0$ 、第2項は偶関数である。よって
$\frac{3}{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{2 sin π ω sin \frac{π ω}{3}}{1 - ω ^{2}} d ω = \frac{1}{2 π} \cdot 2 \cdot 2 I = \frac{2 I}{π} .$
ゆえに
$I = \frac{3}{4} π .$

別解

まず $f^(ω)$ を求める。 $f (x) = sin x$ は奇関数なので、 $e^{- iω x} = cos ω x - i sin ω x$ のうち $cos ω x$ の項は消える。
$f^(ω) = - i \int_{- π}^{π} sin x sin ω x d x = - 2 i \int_{0}^{π} sin x sin ω x d x .$
積和公式より
$\int_{0}^{π} sin x sin ω x d x = \frac{1}{2} [\frac{sin (( 1 - ω ) π )}{1 - ω} - \frac{sin (( 1 + ω ) π )}{1 + ω}] .$
$sin ((1 - ω) π) = sin π ω$ 、 $sin ((1 + ω) π) = - sin π ω$ なので、これは
$\frac{1}{2} sin π ω (\frac{1}{1 - ω} + \frac{1}{1 + ω}) = \frac{sin π ω}{1 - ω ^{2}} .$
よって $f^(ω) = \frac{- 2 i sin π ω}{1 - ω ^{2}}$ 。 $ω = \pm 1$ では極限値で定める。

次に反転公式に代入する。 $e^{iω x} = cos ω x + i sin ω x$ で、 $f^(ω)$ は $ω$ の奇関数である。したがって $cos ω x$ の項は積分すると 0 になり、
$f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{- 2 i sin π ω}{1 - ω ^{2}} \cdot i sin ω x d ω = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{sin π ω sin ω x}{1 - ω ^{2}} d ω .$
被積分関数は偶関数なので
$\int_{0}^{\infty} \frac{sin π ω sin ω x}{1 - ω ^{2}} d ω = \frac{π}{2} f (x) .$
$x = π /3$ とすると $∣ x ∣ \leq π$ なので $f (π /3) = sin (π /3) = 3 /2$ 。ゆえに
$I = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 π}{4} .$

検算として $x = π /2$ の場合を考える。このとき $\int_{0}^{\infty} \frac{s i n π ω s i n ( π ω /2 )}{1 - ω ^{2}} d ω = π /2$ となり、 $f (π /2) = 1$ と整合する。

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題