フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 1$ の外では $0$ なので
$$\hat{f}(\pi )={\int }_0^{1}x{e}^{-i\pi x}dx={\int }_0^{1}x\cos \pi xdx-i{\int }_0^{1}x\sin \pi xdx$$
である（オイラーの公式 $e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$ を用いた）。

実部 部分積分により
$${\int }_0^{1}x\cos \pi xdx={\left[\frac{x\sin \pi x}{\pi }\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{\sin \pi x}{\pi }dx=0+{\left[\frac{\cos \pi x}{{\pi }^2}\right]}_0^1=\frac{-1-1}{{\pi }^2}=-\frac{2}{{\pi }^2}.$$

虚部 同様に部分積分により
$${\int }_0^{1}x\sin \pi xdx={\left[-\frac{x\cos \pi x}{\pi }\right]}_0^1+{\int }_0^1\frac{\cos \pi x}{\pi }dx=-\frac{\cos \pi }{\pi }+{\left[\frac{\sin \pi x}{{\pi }^2}\right]}_0^1=\frac{1}{\pi }.$$

したがって
$$\hat{f}(\pi )=-\frac{2}{{\pi }^2}-\frac{i}{\pi }.$$

（別解: 一般の $\omega \ne 0$ に対して部分積分すると $\hat{f}(\omega )=\frac{i{e}^{-i\omega }}{\omega }+\frac{e^{-i\omega }-1}{{\omega }^2}$ となり、$e^{-i\pi }=-1$ を代入しても同じ値になる。）

$\hat{f}(\omega )={\int }_0^{1}x{e}^{-i\omega x}dx$。$\omega \ne 0$ で部分積分する。

${\int }_0^{1}x{e}^{-i\omega x}dx={\left[\frac{x{e}^{-i\omega x}}{-i\omega }\right]}_0^1+\frac{1}{i\omega }{\int }_0^1{e}^{-i\omega x}dx$

第1項は $\frac{e^{-i\omega }}{-i\omega }=\frac{i{e}^{-i\omega }}{\omega }$。第2項の積分は $\frac{1-e^{-i\omega }}{i\omega }$ なので、第2項は $\frac{1-e^{-i\omega }}{(i\omega {)}^2}=-\frac{1-e^{-i\omega }}{{\omega }^2}$。

よって $\hat{f}(\omega )=\frac{i{e}^{-i\omega }}{\omega }-\frac{1-e^{-i\omega }}{{\omega }^2}$。

$\omega =\pi$ のとき $e^{-i\pi }=-1$ なので
$\hat{f}(\pi )=\frac{-i}{\pi }-\frac{2}{{\pi }^2}=-\frac{2}{{\pi }^2}-\frac{i}{\pi }$。

検算: 実部 ${\int }_0^{1}x\cos (\pi x)dx={\left[\frac{x\sin \pi x}{\pi }\right]}_0^1-\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\sin \pi xdx=-\frac{1}{\pi }\cdot \frac{2}{\pi }=-\frac{2}{{\pi }^2}$。虚部 $-{\int }_0^{1}x\sin (\pi x)dx=-\left({\left[-\frac{x\cos \pi x}{\pi }\right]}_0^1+\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\cos \pi xdx\right)=-\frac{1}{\pi }$。一致する。