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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

実数全体で定義された関数
$f (x) = {10 (0 ≦ x ≦ 2) (x < 0 または x > 2)$
のフーリエ変換を
$f^(ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- iω x} d x (ω は実数)$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。 $f^(\frac{π}{2})$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ変換（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

フーリエ変換の定義式に $f (x)$ をそのまま代入して計算します。 $f (x) = 0$ となる部分は積分に寄与しません。

ヒント 2

$f^(ω) = \int_{0}^{2} e^{- iω x} d x$ です。 $e^{- iω x}$ の原始関数は $\frac{e ^{- iω x}}{- iω}$ です。

ヒント 3

$ω = \frac{π}{2}$ とすると $f^(\frac{π}{2}) = \frac{e ^{- iπ} - 1}{- \frac{iπ}{2}}$ となります。あとはオイラーの公式で $e^{- iπ}$ を求めて整理します。

答えと解説

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- \frac{4 i}{π}

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解説を読む

方針フーリエ変換の定義式に $f (x)$ を代入して積分を計算します。

手順 1：積分区間をしぼる $f (x)$ は $0 ≦ x ≦ 2$ でだけ $1$ で、それ以外では $0$ なので、
$f^(ω) = \int_{0}^{2} e^{- iω x} d x$
となります。

手順 2： $ω = \frac{π}{2}$ を代入して積分する $ω = \frac{π}{2}$ のとき、 $e^{- i \frac{π}{2} x}$ の原始関数は $\frac{e ^{- i \frac{π}{2} x}}{- i \frac{π}{2}}$ です（ $(e^{a x})^{'} = a e^{a x}$ が複素数 $a$ でも成り立つことを使います）。よって
$f^(\frac{π}{2}) = [\frac{e ^{- i \frac{π}{2} x}}{- i \frac{π}{2}}]_{0}^{2} = \frac{e ^{- iπ} - e ^{0}}{- \frac{iπ}{2}} .$

手順 3：オイラーの公式で値を求める $e^{- iπ} = cos π - i sin π = - 1$ なので、分子は $- 1 - 1 = - 2$ です。したがって
$f^(\frac{π}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{iπ}{2}} = \frac{4}{iπ} = \frac{4}{iπ} \cdot \frac{i}{i} = \frac{4 i}{i ^{2} π} = - \frac{4 i}{π} .$

答え $f^(\frac{π}{2}) = - \frac{4 i}{π}$

別解

$f^(ω) = \int_{0}^{2} e^{- iω x} d x = \frac{1 - e ^{- 2 iω}}{iω}$ （ $ω \neq = 0$ ）。 $ω = π /2$ を代入すると $e^{- iπ} = - 1$ なので、 $f^(π /2) = \frac{1 - ( - 1 )}{iπ /2} = \frac{4}{iπ} = - \frac{4 i}{π}$ 。
検算：直接積分すると $\int_{0}^{2} (cos (π x /2) - i sin (π x /2)) d x$ 。実部は $[\frac{2}{π} sin (π x /2)]_{0}^{2} = 0$ 。虚部は $- \int_{0}^{2} sin (π x /2) d x = - [- \frac{2}{π} cos (π x /2)]_{0}^{2} = - \frac{2}{π} (1 - (- 1)) = - \frac{4}{π}$ 。よって $- \frac{4 i}{π}$ で一致する。

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