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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

実数全体で定義された関数
$f (x) = {e^{- 3 x} 0 (x ≧ 0) (x < 0)$
を考える。 $f (x)$ のフーリエ変換を
$f^(ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- iω x} d x (ω は実数)$
で定めるとき、 $f^(ω)$ を $ω$ の式で求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。

この問題で使うもの

フーリエ変換（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）
指数の拡張と指数関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

フーリエ変換の定義式に $f (x)$ をそのまま代入して積分します。 $x < 0$ では $f (x) = 0$ であることを使いましょう。

ヒント 2

$e^{- 3 x} e^{- iω x} = e^{- (3 + iω) x}$ とまとめると、 $\int_{0}^{\infty} e^{- α x} d x$ の形の広義積分になります。

ヒント 3

$\int_{0}^{R} e^{- (3 + iω) x} d x = \frac{1}{3 + iω} (1 - e^{- (3 + iω) R})$ です。 $∣ e^{- (3 + iω) R} ∣ = e^{- 3 R}$ に注目して $R \to \infty$ の極限をとりましょう。

答えと解説

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\frac{1}{3 + iω}

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解説を読む

方針フーリエ変換の定義式に $f (x)$ を代入し、 $f (x) = 0$ となる部分を除いて積分を計算します。

手順 1：積分区間を絞る
$x < 0$ では $f (x) = 0$ なので、その部分の積分は $0$ です。したがって
$f^(ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- 3 x} e^{- iω x} d x = \int_{0}^{\infty} e^{- (3 + iω) x} d x$
となります。指数法則 $e^{a} e^{b} = e^{a + b}$ で 1 つにまとめました。

手順 2：原始関数を求める
$ω$ は定数なので、 $α = 3 + iω (\neq = 0)$ とおくと、 $(- \frac{1}{α} e^{- α x})^{'} = e^{- α x}$ です（複素数の定数 $α$ に対しても、オイラーの公式で実部・虚部に分けて微分すれば同じ式が成り立ちます）。

手順 3：広義積分として計算する
$\int_{0}^{R} e^{- α x} d x = [- \frac{1}{α} e^{- α x}]_{0}^{R} = \frac{1}{α} (1 - e^{- α R}) .$
ここで、オイラーの公式より
$e^{- α R} = e^{- 3 R} e^{- iω R} = e^{- 3 R} (cos ω R - i sin ω R)$
であり、 $∣ e^{- α R} ∣ = e^{- 3 R} \to 0 (R \to \infty)$ です。よって $e^{- α R} \to 0$ となり、
$f^(ω) = R \to \infty lim \frac{1}{α} (1 - e^{- α R}) = \frac{1}{α} = \frac{1}{3 + iω} .$

答え $f^(ω) = \frac{1}{3 + iω}$ （分母を実数化すると $\frac{3 - iω}{9 + ω ^{2}}$ ）。

別解

$f^(ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- 3 x} e^{- iω x} d x = \int_{0}^{\infty} e^{- (3 + iω) x} d x$ 。
不定積分は $- \frac{1}{3 + iω} e^{- (3 + iω) x}$ 。 $x \to \infty$ のとき $∣ e^{- (3 + iω) x} ∣ = e^{- 3 x} \to 0$ なので、
$f^(ω) = \frac{1}{3 + iω}$ 。
検算： $ω = 0$ のとき $\int_{0}^{\infty} e^{- 3 x} d x = 1/3$ で一致する。実部は $\frac{3}{9 + ω ^{2}}$ で、 $\int_{0}^{\infty} e^{- 3 x} cos ω x d x = \frac{3}{9 + ω ^{2}}$ と一致する。

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