積分法の問題

$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sqrt{x}\geqq 0$, $\sin x\geqq 0$ なので $y=\sqrt{x}\sin x\geqq 0$ であり、曲線と $x$ 軸は $x=0$, $x=\pi$ で交わる。よって
$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\left(\sqrt{x}\sin x\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx$$
である。半角の公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を用いると
$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }xdx-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }x\cos 2xdx$$
ここで
$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }xdx=\frac{1}{2}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{{\pi }^2}{4}$$
また、部分積分により
$${\int }_0^{\pi }x\cos 2xdx={\left[\frac{x\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2x}{2}dx=0-{\left[-\frac{\cos 2x}{4}\right]}_0^{\pi }=0-\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=0$$
したがって
$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=\frac{{\pi }^2}{4}$$
となり、
$$V=\pi \cdot \frac{{\pi }^2}{4}=\frac{{\pi }^3}{4}$$

$0\leqq x\leqq \pi$ で $\sin x\geqq 0$ なので曲線は $x$ 軸の上側にある。回転体の体積は
$$V=\pi {\int }_0^{\pi }(\sqrt{x}\sin x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }x(1-\cos 2x)dx.$$
${\int }_0^{\pi }xdx=\frac{{\pi }^2}{2}$。部分積分により
$${\int }_0^{\pi }x\cos 2xdx={\left[\frac{x\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2x}{2}dx=0-{\left[-\frac{\cos 2x}{4}\right]}_0^{\pi }=0-0=0.$$
（${\left[\frac{\cos 2x}{4}\right]}_0^{\pi }=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$）
よって $V=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{2}=\frac{{\pi }^3}{4}$。
検算: ${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx$ は $x\to \pi -x$ の対称性から $\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{4}$。これに $\pi$ を掛けて $\frac{{\pi }^3}{4}$ となり一致する。