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積分法の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学III 積分法

$0 ≦ x ≦ π$ の範囲で、2 曲線 $y = sin x$ と $y = sin 2 x$ ではさまれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させるとき、 $D$ が通過する点全体がつくる立体を $K$ とする。 $D$ の一部は $x$ 軸の下側にあるので、 $x$ 軸の上側の部分と下側の部分が回転して重なるところがあるが、重なった部分は $K$ の中で 1 回だけ数える（ $K$ はそれぞれの部分を回転させてできる立体の和集合である）。 $K$ の体積 $V$ を求めよ。

この問題で使うもの

面積と回転体の体積（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $sin x - sin 2 x = sin x (1 - 2 cos x)$ から 2 曲線の上下関係を調べよう。 $\frac{π}{2} < x < π$ では $D$ が $x$ 軸の上下にまたがることに注意する。

ヒント 2

$x$ 軸をまたぐ部分では、重なりを 1 回だけ数えるので、断面は円環ではなく円板 1 枚になり、その半径は $sin x$ と $∣ sin 2 x ∣$ の大きい方である。 $∣ sin 2 x ∣ = 2 sin x ∣ cos x ∣$ と $sin x$ の大小は $∣ cos x ∣$ と $\frac{1}{2}$ の大小で決まる。

ヒント 3

区間を $[0, \frac{π}{3}], [\frac{π}{3}, \frac{π}{2}], [\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}], [\frac{2 π}{3}, π]$ に分けると、断面積はそれぞれ $π (sin^{2} 2 x - sin^{2} x)$ , $π (sin^{2} x - sin^{2} 2 x)$ , $π sin^{2} x$ , $π sin^{2} 2 x$ となる。あとは半角の公式で積分する。

答えと解説

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\frac{π ^{2}}{4} + \frac{9 3}{16} π

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解説を読む

2 曲線の位置関係

$sin x - sin 2 x = sin x - 2 sin x cos x = sin x (1 - 2 cos x)$
である。 $0 ≦ x ≦ π$ で $sin x ≧ 0$ だから、2 曲線の交点の $x$ 座標は $x = 0, \frac{π}{3}, π$ であり、
- $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ では $cos x ≧ \frac{1}{2}$ より $sin 2 x ≧ sin x ≧ 0$
- $\frac{π}{3} ≦ x ≦ π$ では $sin x ≧ sin 2 x$

となる。

各 $x$ での断面

$x$ 軸に垂直な平面で $D$ を切った切り口は、 $y$ 座標が $sin x$ と $sin 2 x$ の間にある線分である。これを $x$ 軸のまわりに回転させると、 $K$ の断面は次のようになる。線分が $x$ 軸をまたがなければ円環（ドーナツ形）、またげば半径が「線分の端点の $x$ 軸からの距離の大きい方」の円板になる（上側と下側の重なりは 1 回だけ数えるので、断面は円板 1 枚である）。

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ ： $0 ≦ sin x ≦ sin 2 x$ なので断面積は $π (sin^{2} 2 x - sin^{2} x)$
$\frac{π}{3} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ： $cos x ≧ 0$ より $sin 2 x ≧ 0$ で、 $0 ≦ sin 2 x ≦ sin x$ なので断面積は $π (sin^{2} x - sin^{2} 2 x)$
$\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ ： $sin 2 x ≦ 0 ≦ sin x$ で線分が $x$ 軸をまたぐので、断面は半径が $sin x$ と $∣ sin 2 x ∣$ の大きい方の円板。 $∣ sin 2 x ∣ = 2 sin x ∣ cos x ∣$ だから、 $∣ cos x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ すなわち $\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2 π}{3}$ では半径 $sin x$ 、 $\frac{2 π}{3} ≦ x ≦ π$ では半径 $∣ sin 2 x ∣$

よって
$\frac{V}{π} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (sin^{2} 2 x - sin^{2} x) d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (sin^{2} x - sin^{2} 2 x) d x + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} sin^{2} x d x + \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} 2 x d x$

原始関数

半角の公式 $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ より
$F (x) = \int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}, G (x) = \int sin^{2} 2 x d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 4 x}{8}$
（積分定数は省略）。必要な値は
$F (0) = 0, F (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}, F (\frac{π}{2}) = \frac{π}{4}, F (\frac{2 π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{3}{8}$
$G (0) = 0, G (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} + \frac{3}{16}, G (\frac{π}{2}) = \frac{π}{4}, G (\frac{2 π}{3}) = \frac{π}{3} - \frac{3}{16}, G (π) = \frac{π}{2}$

各積分

第 1 項： ${G (\frac{π}{3}) - F (\frac{π}{3})} - {G (0) - F (0)} = \frac{3}{16} + \frac{3}{8} = \frac{3 3}{16}$

第 2 項： ${F (\frac{π}{2}) - G (\frac{π}{2})} - {F (\frac{π}{3}) - G (\frac{π}{3})} = 0 - (- \frac{3 3}{16}) = \frac{3 3}{16}$

第 3 項： $F (\frac{2 π}{3}) - F (\frac{π}{2}) = \frac{π}{12} + \frac{3}{8}$

第 4 項： $G (π) - G (\frac{2 π}{3}) = \frac{π}{6} + \frac{3}{16}$

まとめ

$\frac{V}{π} = \frac{3 3}{16} + \frac{3 3}{16} + \frac{2 3}{16} + \frac{3}{16} + \frac{π}{12} + \frac{π}{6} = \frac{9 3}{16} + \frac{π}{4}$
したがって
$V = \frac{π ^{2}}{4} + \frac{9 3}{16} π$

別解

交点は $sin x = sin 2 x ⟺ sin x (1 - 2 cos x) = 0$ より $x = 0, \frac{π}{3}, π$ 。 $0 < x < \frac{π}{3}$ では $sin 2 x > sin x$ 、 $\frac{π}{3} < x < π$ では $sin x > sin 2 x$ である。

$x$ を固定したとき、 $D$ の断面は $y$ が $sin x$ と $sin 2 x$ の間の線分で、これを $x$ 軸のまわりに回転した断面（ $K$ の断面）は、その線分上の点の $∣ y ∣$ のとりうる値を半径とする円板または円環になる。

(i) $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ ： $0 ≦ sin x ≦ sin 2 x$ なので円環。断面積 $π (sin^{2} 2 x - sin^{2} x)$ 。
(ii) $\frac{π}{3} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ： $0 ≦ sin 2 x ≦ sin x$ なので円環。断面積 $π (sin^{2} x - sin^{2} 2 x)$ 。
(iii) $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ ： $sin 2 x ≦ 0 ≦ sin x$ なので線分は $x$ 軸をまたぎ、半径は $0$ から $max (sin x, - sin 2 x)$ までの円板（上側と下側の回転体は重なるので 1 回だけ数える）。 $- sin 2 x > sin x ⟺ cos x < - \frac{1}{2} ⟺ x > \frac{2 π}{3}$ 。よって $\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2 π}{3}$ では半径 $sin x$ 、 $\frac{2 π}{3} ≦ x ≦ π$ では半径 $- sin 2 x$ 。

$V = π [\int_{0}^{π /3} (sin^{2} 2 x - sin^{2} x) d x + \int_{π /3}^{π /2} (sin^{2} x - sin^{2} 2 x) d x + \int_{π /2}^{2 π /3} sin^{2} x d x + \int_{2 π /3}^{π} sin^{2} 2 x d x]$

$sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ 、 $sin^{2} 2 x = \frac{1 - c o s 4 x}{2}$ より原始関数は $S_{1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}$ 、 $S_{2} (x) = \frac{x}{2} - \frac{s i n 4 x}{8}$ 。

第1項： $S_{2} (\frac{π}{3}) - S_{2} (0) = \frac{π}{6} + \frac{3}{16}$ 、 $S_{1} (\frac{π}{3}) - S_{1} (0) = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}$ 。差は $\frac{3 3}{16}$ 。
第2項： $S_{1} (\frac{π}{2}) - S_{1} (\frac{π}{3}) = \frac{π}{12} + \frac{3}{8}$ 、 $S_{2} (\frac{π}{2}) - S_{2} (\frac{π}{3}) = \frac{π}{12} - \frac{3}{16}$ 。差は $\frac{3 3}{16}$ 。
第3項： $S_{1} (\frac{2 π}{3}) - S_{1} (\frac{π}{2}) = \frac{π}{12} + \frac{3}{8}$ 。
第4項： $S_{2} (π) - S_{2} (\frac{2 π}{3}) = \frac{π}{2} - (\frac{π}{3} - \frac{3}{16}) = \frac{π}{6} + \frac{3}{16}$ 。

合計： $\frac{π}{12} + \frac{π}{6} + \frac{3}{16} (3 + 3 + 2 + 1) = \frac{π}{4} + \frac{9 3}{16}$ 。

よって $V = π (\frac{π}{4} + \frac{9 3}{16}) = \frac{π ^{2}}{4} + \frac{9 3 π}{16}$ （約 $5.53$ ）。

検算：各区間の被積分関数が非負であること、境界 $x = \frac{2 π}{3}$ で $sin^{2} x = sin^{2} 2 x = \frac{3}{4}$ となり連続であることを確認した。

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