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確率解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学確率解析

$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、 $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーション（通常の条件を満たすように完備化したもの）とする。停止時刻
$τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 1, 2)}$
を用いて、確率変数
$X = \int_{0}^{τ} W_{t} d W_{t} = \int_{0}^{\infty} 1_{{t \leq τ}} W_{t} d W_{t}$
を定める。 $X$ の分散 $V [X]$ を求めよ。

この問題で使うもの

伊藤積分と伊藤の等長性（説明と入口の問題）
伊藤の公式（説明と入口の問題）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（113 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$E [X] = 0$ を確認したうえで、停止時刻まで止めた伊藤積分に伊藤の等長性を使い、 $V [X]$ を通常の（ルベーグ）積分の期待値に書き換えましょう。

ヒント 2

$V [X] = E [\int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t]$ です。これは $\frac{1}{2} u^{''} = - x^{2}$ , $u (- 1) = u (2) = 0$ を満たす $u$ に伊藤の公式を適用すると $u (0)$ として求まります。

ヒント 3

$u (x) = - \frac{x ^{4}}{6} + c x + d$ とおき、境界条件 $u (- 1) = u (2) = 0$ から $c, d$ を決めます。あとは $u (W_{t \land τ})$ に伊藤の公式を使い、 $t \to \infty$ の極限をとります。

答えと解説

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解説を読む

1. 期待値 $E [X]$ が $0$ であること.
被積分関数 $H_{t} = 1_{{t \leq τ}} W_{t}$ は発展的可測で、 $∣ H_{t} ∣ \leq 2$ を満たす。また、区間 $(- a, b)$ からのブラウン運動の脱出時刻について $E [τ] = ab$ であるから、ここでは $E [τ] = 1 \cdot 2 = 2 < \infty$ 。したがって
$E [\int_{0}^{\infty} H_{t}^{2} d t] \leq 4 E [τ] < \infty$
となり、 $H$ は $L^{2}$ 理論の伊藤積分の被積分関数である。よって $X$ は二乗可積分で $E [X] = 0$ 、さらに伊藤の等長性
$E [X^{2}] = E [\int_{0}^{\infty} H_{t}^{2} d t] = E [\int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t]$
が成り立つ。ゆえに $V [X] = E [X^{2}] = E [\int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t]$ である。

2. $E [\int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t]$ の計算.
$[- 1, 2]$ 上で
$\frac{1}{2} u^{''} (x) = - x^{2}, u (- 1) = u (2) = 0$
を満たす $u$ を求める。 $u^{''} = - 2 x^{2}$ より $u (x) = - \frac{x ^{4}}{6} + c x + d$ 。境界条件から
$- \frac{1}{6} - c + d = 0, - \frac{16}{6} + 2 c + d = 0.$
辺々引いて $- \frac{15}{6} + 3 c = 0$ 、すなわち $c = \frac{5}{6}$ 、 $d = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$ 。よって
$u (x) = - \frac{x ^{4}}{6} + \frac{5}{6} x + 1.$
伊藤の公式より
$u (W_{t \land τ}) = u (0) + \int_{0}^{t \land τ} u^{'} (W_{s}) d W_{s} + \int_{0}^{t \land τ} \frac{1}{2} u^{''} (W_{s}) d s = 1 + \int_{0}^{t \land τ} u^{'} (W_{s}) d W_{s} - \int_{0}^{t \land τ} W_{s}^{2} d s .$
$u^{'}$ は $[- 1, 2]$ 上で有界なので確率積分の項はマルチンゲールで期待値 $0$ 。したがって
$E [\int_{0}^{t \land τ} W_{s}^{2} d s] = 1 - E [u (W_{t \land τ})] .$
$t \to \infty$ とすると、左辺は単調収束定理により $E [\int_{0}^{τ} W_{s}^{2} d s]$ に収束し、右辺は $τ < \infty$ a.s. かつ $u$ が $[- 1, 2]$ 上で有界なので有界収束定理により $1 - E [u (W_{τ})] = 1 - 0 = 1$ に収束する（ $W_{τ} \in {- 1, 2}$ で $u = 0$ ）。

3. 検算. 伊藤の公式より $X = \frac{W _{τ}^{2} - τ}{2}$ 。 $P (W_{τ} = 2) = \frac{1}{3}$ , $P (W_{τ} = - 1) = \frac{2}{3}$ より $E [W_{τ}^{2}] = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2 = E [τ]$ となり、 $E [X] = 0$ とも整合する。

以上より
$V [X] = 1.$

別解

伊藤の公式より $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ なので、 $X = \frac{1}{2} (W_{τ}^{2} - τ)$ となる。被積分関数 $1_{{t \leq τ}} W_{t}$ は $t \leq τ$ で $∣ W_{t} ∣ \leq 2$ と有界であり、 $E [τ] < \infty$ である。したがって $E [X] = 0$ であり、伊藤の等長性より
$V [X] = E [X^{2}] = E \int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t .$
$u (x) = E_{x} \int_{0}^{τ} W_{t}^{2} d t$ とおくと、 $u$ は境界値問題 $\frac{1}{2} u^{''} = - x^{2}$ 、 $u (- 1) = u (2) = 0$ を満たす。
一般解は $u = - \frac{x ^{4}}{6} + a x + b$ である。
$u (- 1) = - \frac{1}{6} - a + b = 0$ 、 $u (2) = - \frac{16}{6} + 2 a + b = 0$ を解くと $a = \frac{5}{6}$ 、 $b = 1$ を得る。
検算： $u (- 1) = - \frac{1}{6} - \frac{5}{6} + 1 = 0$ 、 $u (2) = - \frac{8}{3} + \frac{5}{3} + 1 = 0$ となり、境界条件を満たす。
求める値は $u (0) = 1$ であるから、 $V [X] = 1$ 。

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