多次元伊藤の公式と調和関数

$d$ 次元ブラウン運動に対する伊藤の公式 $df (B_{t}) = \nabla f \cdot d B_{t} + \frac{1}{2} Δ f d t$ を使い、調和関数（3 次元では $1/∣ x ∣$ ）と任意停止定理で、球殻からの脱出で内側の球面に先に到達する確率を求められる

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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伊藤の公式（大学院数学確率解析）
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ブラウン運動の停止時刻と到達確率（大学院数学確率解析）

説明

$d$ 次元ブラウン運動 $B_{t} = (B_{t}^{1}, \dots, B_{t}^{d})$ （各成分が独立な 1 次元標準ブラウン運動）の関数 $f (B_{t})$ の変化は、伊藤の公式 $df (B_{t}) = \nabla f (B_{t}) \cdot d B_{t} + \frac{1}{2} Δ f (B_{t}) d t$ で表されます（ $Δ f = \sum_{i} \partial_{i}^{2} f$ はラプラシアン）。 $Δ f = 0$ を満たす関数（調和関数）を選ぶと $d t$ の項が消えて $f (B_{t})$ がマルチンゲールになるので、1 次元のときと同じように任意停止定理が使えます。これにより、3 次元で $a < ∣ x ∣ < b$ の球殻から出るとき内側の球面 $∣ x ∣ = a$ に先に着く確率などを、調和関数 $1/∣ x ∣$ を使って求められます。

なぜそうしてよいのか

多変数のテイラー展開で $f (B_{t + h}) - f (B_{t})$ を 2 次まで書くと $\sum_{i} \partial_{i} f Δ B^{i} + \frac{1}{2} \sum_{i, j} \partial_{i} \partial_{j} f Δ B^{i} Δ B^{j}$ です。1 次元のときの規則 $d B^{i} d B^{i} = d t$ に加えて、異なる成分は独立で平均 0 なので $Δ B^{i} Δ B^{j}$ （ $i \neq = j$ ）の和は 0 に近づき、 $d B^{i} d B^{j} = 0$ （ $i \neq = j$ ）となります。したがって 2 次の項は対角成分だけが残って $\frac{1}{2} \sum_{i} \partial_{i}^{2} f d t = \frac{1}{2} Δ f d t$ となり、これが多次元の伊藤の公式です。

$Δ f = 0$ なら $f (B_{t}) = f (B_{0}) + \int_{0}^{t} \nabla f (B_{s}) \cdot d B_{s}$ となり、 $f (B_{t})$ は（可積分性が保たれる範囲で）マルチンゲールです。球対称な関数 $f (x) = g (r)$ （ $r = ∣ x ∣$ ）では、 $\partial_{i} r = \frac{x _{i}}{r}$ から $Δ f = g^{''} (r) + \frac{d - 1}{r} g^{'} (r)$ となるので、調和になるのは $d = 3$ なら $g (r) = \frac{1}{r}$ （と定数）、 $d = 2$ なら $g (r) = lo g r$ です。実際 $d = 3$ で $\partial_{i} \frac{1}{r} = - \frac{x _{i}}{r ^{3}}$ , $\partial_{i}^{2} \frac{1}{r} = - \frac{1}{r ^{3}} + \frac{3 x _{i}^{2}}{r ^{5}}$ を足すと $- \frac{3}{r ^{3}} + \frac{3 r ^{2}}{r ^{5}} = 0$ です（ $x \neq = 0$ ）。

$\frac{1}{∣ x ∣}$ は原点で定義されませんが、球殻 $a \leq ∣ x ∣ \leq b$ （ $a > 0$ ）の中では滑らかで有界です。脱出時刻 $τ = in f {t : ∣ B_{t} ∣ = a または ∣ B_{t} ∣ = b}$ までに止めた過程 $f (B_{t \land τ})$ は球殻の中だけを動くので、そこで伊藤の公式が使え、有界なマルチンゲールになります。すると任意停止定理から $E [f (B_{τ})] = f (B_{0})$ が成り立ち、 $f (B_{τ})$ は 2 つの値 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}$ しかとらないので、そこから確率が 1 次方程式として求まります。

手順

多次元の伊藤の公式 $df (B_{t}) = \nabla f \cdot d B_{t} + \frac{1}{2} Δ f d t$ （ $d B^{i} d B^{j} = δ_{ij} d t$ ）を確認し、使う領域で $Δ f = 0$ となる $f$ を選ぶ（3 次元の球殻なら $f (x) = \frac{1}{∣ x ∣}$ 、2 次元なら $lo g ∣ x ∣$ ）
停止時刻 $τ = in f {t \geq 0 : ∣ B_{t} ∣ \in {a, b}}$ を定め、 $τ < \infty$ a.s. を確かめる（例: $∣ B_{t} ∣ \geq ∣ B_{t}^{1} ∣$ で、1 次元ブラウン運動 $B^{1}$ は区間 $(- b, b)$ を有限時間で必ず出る）
$f (B_{t \land τ})$ が球殻上で有界なマルチンゲールであることから、任意停止定理（ $t \to \infty$ で有界収束）により $E [f (B_{τ})] = f (B_{0})$ とする
$p = P (∣ B_{τ} ∣ = a)$ とおき、 $f (B_{0}) = p f ∣_{∣ x ∣ = a} + (1 - p) f ∣_{∣ x ∣ = b}$ を解く。3 次元なら $p = \frac{\frac{1}{∣ x _{0} ∣} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$

例題

$B_{t}$ を $B_{0} = x_{0}$ , $∣ x_{0} ∣ = 2$ から出発する 3 次元ブラウン運動とし、 $τ = in f {t \geq 0 : ∣ B_{t} ∣ = 1 または ∣ B_{t} ∣ = 4}$ とする。 $B$ が球面 $∣ x ∣ = 4$ より先に球面 $∣ x ∣ = 1$ に到達する確率 $P (∣ B_{τ} ∣ = 1)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $f (x) = \frac{1}{∣ x ∣}$ （ $x \neq = 0$ ）とおく。 $r = ∣ x ∣$ として $\partial_{i} f = - \frac{x _{i}}{r ^{3}}$ , $\partial_{i}^{2} f = - \frac{1}{r ^{3}} + \frac{3 x _{i}^{2}}{r ^{5}}$ なので $Δ f = - \frac{3}{r ^{3}} + \frac{3 r ^{2}}{r ^{5}} = 0$ 。よって球殻 $1 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ で $f$ は滑らかな調和関数で、伊藤の公式より $t < τ$ の範囲で $df (B_{t}) = \nabla f (B_{t}) \cdot d B_{t}$ 。

手順 2: $∣ B_{t} ∣ \geq ∣ B_{t}^{1} ∣$ であり、1 次元ブラウン運動 $B^{1}$ は区間 $(- 4, 4)$ から有限時間で確率 1 で出る。その時点までに $∣ B_{t} ∣ \geq 4$ となるので、 $τ < \infty$ a.s.。

手順 3: $B_{t \land τ}$ は球殻 $1 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ にとどまるので、 $M_{t} = f (B_{t \land τ}) = f (x_{0}) + \int_{0}^{t \land τ} \nabla f (B_{s}) \cdot d B_{s}$ は $\frac{1}{4} \leq M_{t} \leq 1$ の有界なマルチンゲールである（ $∣\nabla f ∣ = \frac{1}{r ^{2}} \leq 1$ も有界）。任意停止定理より $E [M_{t}] = f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ 。 $t \to \infty$ とすると $M_{t} \to f (B_{τ})$ で、有界なので優収束定理より
$E [f (B_{τ})] = \frac{1}{2} .$

手順 4: $p = P (∣ B_{τ} ∣ = 1)$ とおくと、 $f (B_{τ})$ は確率 $p$ で $1$ 、確率 $1 - p$ で $\frac{1}{4}$ をとるので
$p \cdot 1 + (1 - p) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ⟹ \frac{3}{4} p = \frac{1}{4} ⟹ p = \frac{1}{3} .$
公式 $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ とも一致する。

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

1 次元の答え（距離の比）をそのまま使い、 $P (∣ B_{τ} ∣ = a) = \frac{b - ∣ x _{0} ∣}{b - a}$ としてしまう誤り。 $∣ x ∣$ は 3 次元では調和ではない（ $Δ∣ x ∣ = \frac{2}{∣ x ∣} \neq = 0$ ）。正しくは調和関数 $\frac{1}{∣ x ∣}$ を使って $\frac{\frac{1}{∣ x _{0} ∣} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$ （上の例では $\frac{2}{3}$ ではなく $\frac{1}{3}$ ）
多次元の伊藤の公式の 2 次の項を $\frac{1}{2} \sum_{i, j} \partial_{i} \partial_{j} f d t$ と、混合偏微分まで含めてしまう誤り。異なる成分は独立なので $d B^{i} d B^{j} = 0$ （ $i \neq = j$ ）で、正しくは $\frac{1}{2} \sum_{i} \partial_{i}^{2} f d t = \frac{1}{2} Δ f d t$
次元によって調和関数が変わることを忘れ、2 次元でも $\frac{1}{∣ x ∣}$ を使ってしまう誤り。球対称な $g (r)$ では $Δ g = g^{''} + \frac{d - 1}{r} g^{'}$ で、2 次元では $Δ \frac{1}{r} = \frac{1}{r ^{3}} \neq = 0$ 。正しくは 2 次元では $lo g ∣ x ∣$ を使い、 $P (∣ B_{τ} ∣ = a) = \frac{lo g b - lo g ∣ x _{0} ∣}{lo g b - lo g a}$
$\frac{1}{∣ x ∣}$ が原点で発散することや $τ < \infty$ を確かめずに $E [f (B_{τ})] = f (B_{0})$ としてしまう誤り。正しくは $a > 0$ の球殻の中で止めた $f (B_{t \land τ})$ が有界なマルチンゲールであること、 $τ < \infty$ a.s. であることを確認してから、有界収束で $t \to \infty$ とする

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(B_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $3$ 次元標準ブラウン運動で， $B_{0} = (0, 0, 2)$ を満たすものとする。 $∣ \cdot ∣$ をユークリッドノルムとし，
$τ = in f {t \geq 0 : ∣ B_{t} ∣ \leq 1 or ∣ B_{t} ∣ \geq 4}$
とおく（ $τ$ は球殻 ${x \in R^{3} : 1 < ∣ x ∣ < 4}$ からの脱出時刻）。 $τ < \infty$ がほとんど確実に成り立つことは用いてよい。 $B$ が内側の球面 $∣ x ∣ = 1$ より先に外側の球面 $∣ x ∣ = 4$ に到達する確率 $P (∣ B_{τ} ∣ = 4)$ を求めよ。

多次元伊藤の公式と調和関数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題