確率論の問題

確率論への書き換え
$X_1,X_2,\dots$ を $[0,1]$ 上の一様分布に従う独立同分布な確率変数とすると、$[0,1{]}^n$ 上のルベーグ測度は $(X_1,\dots ,X_n)$ の分布なので
$$I_n=E\left[\frac{G_n}{A_n}\right],G_n=(X_1\cdots X_n{)}^{1/n},A_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$
と書ける。

算術平均
$E[X_1]=\frac{1}{2}$ なので、強大数の法則より $A_n\to \frac{1}{2}$ a.s.

幾何平均
確率 $1$ で $X_i>0$ であり、$\log G_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\log X_i$ である。
$$E[\log X_1]={\int }_0^1\log xdx=[x\log x-x{]}_0^1=-1$$
で、$E|\log X_1|=1<\infty$ なので、強大数の法則より $\log G_n\to -1$ a.s.、すなわち $G_n\to e^{-1}$ a.s.

よって
$$\frac{G_n}{A_n}\to \frac{e^{-1}}{1/2}=\frac{2}{e}\text{a.s.}$$

極限と期待値の交換
相加平均・相乗平均の不等式より $0\le G_n\le A_n$ なので $0\le \frac{G_n}{A_n}\le 1$ である（$A_n>0$ a.s.）。定数 $1$ は可積分なので、有界収束定理（優収束定理）により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=E\left[\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{G_n}{A_n}\right]=\frac{2}{e}.$$

$X_1,\dots ,X_n$ を $[0,1]$ 上の一様分布に従う独立な確率変数とすると、$I_n=E\left[\frac{G_n}{A_n}\right]$。ただし $G_n=(X_1\cdots X_n{)}^{1/n}$（幾何平均）、$A_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)$（算術平均）。実際 $\frac{n(x_1\cdots x_n{)}^{1/n}}{x_1+\cdots +x_n}=\frac{G_n}{A_n}$ である。

大数の法則より、$A_n\to E[X_1]=\frac{1}{2}$ （概収束）。また $\log G_n=\frac{1}{n}\sum \log X_k\to E[\log X_1]={\int }_0^1\log xdx=-1$ （$\log X_k$ は可積分）なので $G_n\to e^{-1}$ （概収束）。したがって $\frac{G_n}{A_n}\to \frac{e^{-1}}{1/2}=\frac{2}{e}$ （概収束）。

算術幾何平均の不等式より $0\le G_n/A_n\le 1$ なので、有界収束定理（ルベーグの収束定理）により ${\lim }_{n\to \infty }{I}_n=E[\lim G_n/A_n]=\frac{2}{e}$。

検算: $n=1$ のとき $I_1=1$（$G_1/A_1=1$）。$n$ が大きいと $I_n$ は $1$ から $2/e\approx 0.7358$ に減少していく。AM-GM より常に $\le 1$ で整合的。