確率・統計の問題

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E\left[e^{tX}\right]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{1}{6}$$
$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$ を求め、それを微分することで、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の組で答えよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\sin x& (0\le x\le \pi )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ はパラメータ $1$ のポアソン分布に従う。すなわち
$$P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
である。確率変数 $Y=2^X$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。