確率・統計の問題

方針 独立な確率変数の和の分布は、積率母関数の積で求められます。

手順 1：それぞれの積率母関数を求める。 パラメータ $\lambda$ のポアソン分布の積率母関数は
$$M(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{tk}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\lambda e^t{)}^k}{k!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}$$
です。したがって
$$M_X(t)=e^{2(e^t-1)},M_Y(t)=e^{3(e^t-1)}$$
となります。

手順 2：和の積率母関数を求める。 $X$ と $Y$ は独立なので、$e^{tX}$ と $e^{tY}$ も独立です。よって
$$M_{X+Y}(t)=E(e^{t(X+Y)})=E(e^{tX})E(e^{tY})=e^{2(e^t-1)}{e}^{3(e^t-1)}=e^{5(e^t-1)}$$
が成り立ちます。これはパラメータ $5$ のポアソン分布の積率母関数です。積率母関数が一致すれば分布も一致するので、$X+Y$ はパラメータ $5$ のポアソン分布に従います（ポアソン分布の再生性）。

手順 3：確率を計算する。
$$P(X+Y=2)=\frac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}=\frac{25}{2}{e}^{-5}$$

畳み込みによる確認 $X+Y=2$ となるのは $(X,Y)=(0,2),(1,1),(2,0)$ の 3 通りです。独立性より
$$P(X+Y=2)=\sum _{k=0}^{2}P(X=k)P(Y=2-k)=e^{-2}{e}^{-3}\left(\frac{3^2}{2!}+\frac{2\cdot 3}{1!1!}+\frac{2^2}{2!}\right)$$
$$=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+6+2\right)=\frac{25}{2}{e}^{-5}$$
となり、同じ結果が得られます。

よって答えは $\frac{25}{2}{e}^{-5}$ です。

独立なポアソン分布の和はポアソン分布に従う。したがって $X+Y$ はパラメータ $2+3=5$ のポアソン分布に従う。

$P(X+Y=2)=e^{-5}\frac{5^2}{2!}=\frac{25}{2}{e}^{-5}$

検算として、直接和をとる。
${\sum }_{k=0}^{2}P(X=k)P(Y=2-k)=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+2\cdot 3+\frac{4}{2}\right)=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+6+2\right)$

各項は次のとおり。
- $k=0$: $1\cdot \frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$
- $k=1$: $2\cdot 3=6$
- $k=2$: $\frac{2^2}{2}\cdot 1=2$

合計は $\frac{9}{2}+8=\frac{25}{2}$ となり、上の結果と一致する。

数値では $\frac{25}{2}{e}^{-5}\approx 0.0842$ である。