確率・統計の問題

方針：同時確率分布の表から周辺分布（各行・各列の和）を求め、独立性の条件
$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)(\text{すべての }i,j)$$
を使う。

手順 1：周辺分布を求める。
$X$ の周辺分布は行ごとの和である。
$$P(X=0)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a=\frac{3}{10}+a,P(X=1)=\frac{3}{20}+b+\frac{3}{20}=\frac{3}{10}+b$$
$Y$ の周辺分布は列ごとの和である。特に
$$P(Y=0)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$$

手順 2：独立性の条件を 1 つのマスに使う。
$(X,Y)=(0,0)$ のマスについて $P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$ より
$$\frac{1}{10}=\left(\frac{3}{10}+a\right)\cdot \frac{1}{4}⟹\frac{3}{10}+a=\frac{2}{5}⟹a=\frac{1}{10}$$

手順 3：確率の和が 1 であることから $b$ を求める。
$$\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{3}{20}+b+\frac{3}{20}=1$$
左辺の $b$ 以外の和は $\frac{2+4+2+3+3}{20}=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ なので $b=\frac{3}{10}$。

手順 4：すべてのマスで独立性の条件が成り立つか確かめる。
$P(X=0)=\frac{2}{5},P(X=1)=\frac{3}{5}$、$P(Y=0)=\frac{1}{4},P(Y=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$ である。
- $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$, $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
- $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$, $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$, $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$

いずれも表の値と一致するので、$X,Y$ は確かに独立である。

よって $(a,b)=\left(\frac{1}{10},\frac{3}{10}\right)$。

全確率の和は1なので $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a+\frac{3}{20}+b+\frac{3}{20}=1$。通分すると $\frac{2+4+3+3}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ なので $a+b=\frac{2}{5}$。

独立なので $P(X=0,Y=0)P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)$、すなわち $\frac{1}{10}b=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{20}=\frac{3}{100}$ より $b=\frac{3}{10}$。

よって $a=\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{1}{10}$。

検算: $P(X=0)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$、$P(X=1)=\frac{3}{20}+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=\frac{3}{5}$。$P(Y=0)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$、$P(Y=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$、$P(Y=2)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$。積は $P(X=0)P(Y=0)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$ ✓、$P(X=0)P(Y=1)=\frac{1}{5}$ ✓、$P(X=0)P(Y=2)=\frac{1}{10}=a$ ✓、$P(X=1)P(Y=0)=\frac{3}{20}$ ✓、$P(X=1)P(Y=1)=\frac{3}{10}=b$ ✓、$P(X=1)P(Y=2)=\frac{3}{20}$ ✓。