確率・統計の問題

方針 同時確率分布の表で、行の和・列の和をとると周辺分布が得られます。$X$ と $Y$ が独立であることは、すべての $(i,j)$ について
$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$$
が成り立つことです。

手順 1：周辺分布を求める 各列の和・各行の和から
$$P(Y=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2},P(X=0)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a=\frac{3}{10}+a$$
です。

手順 2：独立の条件を $(X,Y)=(0,1)$ に使う 独立であるから
$$P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)$$
が成り立ちます。値を代入すると
$$\frac{1}{5}=\left(\frac{3}{10}+a\right)\cdot \frac{1}{2}$$
となり、$\frac{3}{10}+a=\frac{2}{5}$ より $a=\frac{1}{10}$ です。

手順 3：確率の和が 1 であることから $b$ を求める
$$\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=1$$
です。左辺の $b$ 以外の和は $\frac{2+4+2+6+3}{20}=\frac{17}{20}$ なので、$b=\frac{3}{20}$ です。

手順 4：すべてのマスで独立の条件を確かめる 周辺分布は次のとおりです。
$$P(X=0)=\frac{2}{5},P(X=1)=\frac{3}{20}+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=\frac{3}{5}$$
$$P(Y=0)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4},P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$$
積を計算すると
- $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$、$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$、$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
- $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$、$\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$、$\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$

となり、表の 6 つの値とすべて一致します。したがって、このとき $X$ と $Y$ は確かに独立です。

よって $(a,b)=\left(\frac{1}{10},\frac{3}{20}\right)$ です。

全確率の和が 1 なので $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a+b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=1$ より $a+b=\frac{1}{4}$。

$Y=1$ の列について、独立なら $P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)$、$P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)$。したがって $P(X=0):P(X=1)=\frac{1}{5}:\frac{3}{10}=2:3$ となり、$P(X=0)=\frac{2}{5}$、$P(X=1)=\frac{3}{5}$。

$P(X=0)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a=\frac{2}{5}$ より $a=\frac{1}{10}$。
$P(X=1)=b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=\frac{3}{5}$ より $b=\frac{3}{20}$。

検算：$a+b=\frac{2}{20}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$ で一致する。$P(Y=0)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$、$P(Y=1)=\frac{1}{2}$、$P(Y=2)=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$。各セルで $P(X=i)P(Y=j)$ を確認する。
- $(0,0)$: $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
- $(0,1)$: $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$
- $(0,2)$: $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=a$
- $(1,0)$: $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}=b$
- $(1,1)$: $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$
- $(1,2)$: $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$

すべて表と一致するので、$(a,b)=(\frac{1}{10},\frac{3}{20})$。