確率・統計の問題

方針 同時確率の表から行・列ごとに和をとって周辺分布を求め、独立の条件
$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)(\text{すべての }i,j)$$
を使う。

手順 1: 周辺分布を求める。 行の和が $X$ の周辺分布、列の和が $Y$ の周辺分布である。
$$P(X=0)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a=\frac{3}{10}+a,P(X=1)=b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=b+\frac{9}{20}$$
$$P(Y=0)=\frac{1}{10}+b,P(Y=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2},P(Y=2)=a+\frac{3}{20}$$

手順 2: すでに値がわかっている列 $Y=1$ から独立の条件を使う。 $(X,Y)=(0,1)$ について
$$\frac{1}{5}=P(X=0)\cdot \frac{1}{2}\text{より}P(X=0)=\frac{2}{5}.$$
よって $\frac{3}{10}+a=\frac{2}{5}$ から $a=\frac{1}{10}$。
また $P(X=1)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。

手順 3: $(X,Y)=(1,0)$ について独立の条件を使う。
$$b=P(X=1)P(Y=0)=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{10}+b\right)$$
$$b-\frac{3}{5}b=\frac{3}{50}⟹\frac{2}{5}b=\frac{3}{50}⟹b=\frac{3}{20}.$$

確認 このとき周辺分布は $P(X=0)=\frac{2}{5},P(X=1)=\frac{3}{5}$、$P(Y=0)=\frac{1}{4},P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{4}$ で、
$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10},\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5},\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20},\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$ となり、6 つのマスすべてで同時確率が周辺確率の積に等しい。確率の総和も $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{3}{20}+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=1$ である。

したがって $(a,b)=\left(\frac{1}{10},\frac{3}{20}\right)$。

全確率が 1 なので $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a+b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=1$ より $a+b=\frac{1}{4}$。

$Y=1$ の列では $P(X=0,Y=1)=\frac{1}{5}$、$P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$ である。独立なら $P(X=x,Y=1)=P(X=x)P(Y=1)$ なので、$P(X=0):P(X=1)=2:3$。よって $P(X=0)=\frac{2}{5}$、$P(X=1)=\frac{3}{5}$。

$X=0$ の行の和: $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+a=\frac{2}{5}$ より $a=\frac{1}{10}$。
$X=1$ の行の和: $b+\frac{3}{10}+\frac{3}{20}=\frac{3}{5}$ より $b=\frac{3}{20}$。

検算: $a+b=\frac{1}{10}+\frac{3}{20}=\frac{1}{4}$ で一致する。周辺分布は $P(Y=0)=\frac{1}{4}$、$P(Y=1)=\frac{1}{2}$、$P(Y=2)=\frac{1}{4}$ となる。
各成分を確かめると、$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$、$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$、$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=a$、$\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}=b$、$\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$、$\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{20}$ がすべて表と一致し、独立である。