独立な確率変数の和の分布

独立な和の分布を、畳み込みや積率母関数の積で求められる（ポアソン分布の再生性など）

前提

積率母関数（大学数学確率・統計）
確率変数の変換（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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説明

互いに独立な確率変数 $X, Y$ の和 $Z = X + Y$ がどんな分布に従うかを求める技能です。方法は 2 つあります。1 つは確率や密度を直接足し合わせる「畳み込み」、もう 1 つは積率母関数の積をとる方法です。たとえば「独立なポアソン分布の和はまたポアソン分布になる」(再生性)のように、和の分布の種類とパラメータを特定し、その確率を計算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

畳み込み(離散型) 事象 ${X + Y = n}$ は、 $X = k$ かつ $Y = n - k$ という事象を $k$ ごとに分けた、互いに排反な事象の和になります。独立性から $P (X = k, Y = n - k) = P (X = k) P (Y = n - k)$ なので、 $P (X + Y = n) = k \sum P (X = k) P (Y = n - k)$ が成り立ちます。連続型では、同時密度 $f_{X} (x) f_{Y} (y)$ を変数変換 $u = x, z = x + y$ で書き換えます。逆変換 $x = u, y = z - u$ のヤコビアンは $1$ なので、 $(U, Z)$ の同時密度は $f_{X} (u) f_{Y} (z - u)$ です。これを $u$ で積分して周辺密度をとると、 $f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ が得られます。例として $X, Y$ が独立にパラメータ $λ$ の指数分布に従うとき、被積分関数が $0$ でないのは $0 < x < z$ の範囲だけなので、 $z > 0$ で $f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} λ e^{- λ x} λ e^{- λ (z - x)} d x = λ^{2} z e^{- λ z}$ となります。

積率母関数の積 $e^{t (X + Y)} = e^{tX} e^{t Y}$ です。 $X, Y$ が独立なら $e^{tX}$ と $e^{t Y}$ も独立なので、積の期待値は期待値の積になります。よって $M_{X + Y} (t) = E (e^{tX}) E (e^{t Y}) = M_{X} (t) M_{Y} (t)$ が、両方の積率母関数が存在する $t$ で成り立ちます。ここでもう 1 つの事実を使います。 $0$ を含むある開区間で積率母関数が一致する 2 つの分布は同じ分布です(積率母関数の一意性)。このため、積 $M_{X} (t) M_{Y} (t)$ が既知の分布の積率母関数の形をしていれば、和の分布がその分布だと断定できます。

たとえばポアソン分布 $Po (λ)$ の積率母関数は $\sum_{k \geq 0} e^{t k} e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{λ (e^{t} - 1)}$ です。したがって $Po (λ)$ と $Po (μ)$ の独立な和の積率母関数は $e^{(λ + μ) (e^{t} - 1)}$ となり、和は $Po (λ + μ)$ に従います。これがポアソン分布の再生性です。

手順

$X, Y$ が独立であることを確認し、それぞれの分布(確率関数または密度、パラメータ)を書き出す。
方法を選ぶ。積率母関数がよく知られた分布同士なら積率母関数の積、そうでなければ畳み込みを使う。
【積率母関数】 $M_{X + Y} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t)$ を計算し、得られた式がどの分布の積率母関数かを見抜く。一意性により、それが和の分布になる。
【畳み込み】離散型なら $P (X + Y = n) = \sum_{k} P (X = k) P (Y = n - k)$ を、連続型なら $f_{Z} (z) = \int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ を計算する。このとき、和や積分の範囲は両方の因子が $0$ でない範囲に絞る。
求めた和の分布を使って、問われている確率・期待値などを計算する。

例題

確率変数 $X, Y$ は独立で、 $X$ は平均 $2$ のポアソン分布、 $Y$ は平均 $3$ のポアソン分布に従う。 $P (X + Y = 2)$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $X \sim Po (2)$ 、 $Y \sim Po (3)$ で、両者は独立である。

手順2: ポアソン分布の積率母関数 $e^{λ (e^{t} - 1)}$ (すべての実数 $t$ で存在)が使えるので、積率母関数の積を選ぶ。

手順3: $M_{X + Y} (t) = e^{2 (e^{t} - 1)} \cdot e^{3 (e^{t} - 1)} = e^{5 (e^{t} - 1)}$ となる。これは $Po (5)$ の積率母関数なので、一意性から $X + Y \sim Po (5)$ である。

手順5: $P (X + Y = 2) = e^{- 5} \frac{5 ^{2}}{2 !} = \frac{25}{2} e^{- 5}$ である。

(確認: 手順4の畳み込みで計算すると、 $P (0, 2) + P (1, 1) + P (2, 0) = e^{- 5} (\frac{9}{2} + 2 \cdot 3 + \frac{4}{2}) = \frac{25}{2} e^{- 5}$ となり、一致する。)

答え: $\frac{25}{2} e^{- 5}$

よくある誤り

和の密度を密度の和 $f_{X + Y} (z) = f_{X} (z) + f_{Y} (z)$ としてしまう誤り。これは全体を積分すると $2$ になり、密度ですらない。正しくは畳み込み $f_{X + Y} (z) = \int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ である。
積率母関数を足して $M_{X + Y} (t) = M_{X} (t) + M_{Y} (t)$ としてしまう誤り。正しくは独立性から積 $M_{X + Y} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t)$ である。また、独立でない場合はこの積の公式自体が使えない。
畳み込みの範囲を考えずに $(- \infty, \infty)$ のまま指数分布の式を代入してしまう誤り。正しくは $f_{X} (x) \neq = 0$ かつ $f_{Y} (z - x) \neq = 0$ 、つまり $0 < x < z$ に絞り、 $f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} λ^{2} e^{- λ z} d x = λ^{2} z e^{- λ z} (z > 0)$ 、 $z \leq 0$ では $f_{Z} (z) = 0$ とする。
同じ変数を 2 倍した $2 X$ を、独立な 2 つのコピーの和と同じものとして $Po (2 λ)$ に従うとしてしまう誤り。 $X$ と $X$ は独立ではない。実際 $M_{2 X} (t) = e^{λ (e^{2 t} - 1)}$ であり、 $2 X$ は偶数の値しかとらないのでポアソン分布ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ネイマン・ピアソンの補題と最強力検定（大学数学数理統計）