数理統計の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理統計

ある試行を、成功するまで互いに独立にくり返すとき、初めて成功するまでの試行回数を $X$ とする。1 回の成功確率を $p$ （ $0 < p < 1$ ）とすると、 $X$ は幾何分布
$P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1} (k = 1, 2, 3, \dots)$
に従う。この分布に互いに独立に従う 2 つの観測値 $X_{1}, X_{2}$ にもとづいて、帰無仮説 $H_{0} : p = \frac{1}{2}$ を対立仮説 $H_{1} : p = \frac{1}{4}$ に対して検定する。

ランダム化検定（観測値に応じて、確率 $γ$ （ $0 \leq γ \leq 1$ ）で $H_{0}$ を棄却する検定）も許すとき、有意水準 $0.05$ の検定のうち検出力が最大となる検定を考える。この検定の $p = \frac{1}{4}$ における検出力を、既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

ネイマン・ピアソンの補題と最強力検定（説明と入口の問題）
検定の有意水準と検出力（説明と入口の問題）
幾何分布・ポアソン分布（説明と入口の問題）
独立な確率変数の和の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（99 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ネイマン・ピアソンの補題を使います。尤度が $X_{1} + X_{2}$ だけで決まることに注目し、尤度比が $T = X_{1} + X_{2}$ の単調関数になることを確かめましょう。

ヒント 2

$T = X_{1} + X_{2}$ の分布は $P (T = t) = (t - 1) p^{2} (1 - p)^{t - 2}$ （ $t \geq 2$ ）です。 $H_{0}$ のもとで $P_{0} (T \geq c)$ が $0.05$ をまたぐ $c$ を探し、境界の値 $T = c$ でランダム化します。

ヒント 3

$H_{0}$ のもとで $P_{0} (T \geq 9) = \frac{9}{256}$ 、 $P_{0} (T = 8) = \frac{7}{256}$ なので、 $T = 8$ で棄却する確率は $γ = \frac{19}{35}$ です。あとは $p = \frac{1}{4}$ のもとで $P_{1} (T \geq 9)$ と $P_{1} (T = 8)$ を求めます。

答えと解説

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\frac{16767}{40960}

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解説を読む

1. 尤度比の計算

$q = 1 - p$ とおく。観測値 $(x_{1}, x_{2})$ の尤度は
$L (p) = p q^{x_{1} - 1} \cdot p q^{x_{2} - 1} = p^{2} q^{t - 2} (t = x_{1} + x_{2})$
であり、 $t$ だけで決まる。

尤度比は
$\frac{L ( 1/4 )}{L ( 1/2 )} = \frac{( 1/4 ) ^{2} ( 3/4 ) ^{t - 2}}{( 1/2 ) ^{2} ( 1/2 ) ^{t - 2}} = \frac{1}{4} (\frac{3}{2})^{t - 2}$
となり、 $t$ について単調に増加する。

ネイマン・ピアソンの補題より、最強力検定は次の形になる。
- $T = X_{1} + X_{2} > c$ のとき棄却する。
- $T = c$ のとき確率 $γ$ で棄却する。
- $c$ と $γ$ は、サイズがちょうど $0.05$ になるように定める。

2. $T$ の分布

$t \geq 2$ に対して
$P (T = t) = k = 1 \sum t - 1 p q^{k - 1} \cdot p q^{t - k - 1} = (t - 1) p^{2} q^{t - 2} .$

3. $H_{0}$ （ $p = \frac{1}{2}$ ）のもとでの棄却域の決定

$H_{0}$ のもとでは $P (T = t) = \frac{t - 1}{2 ^{t}}$ である。よって
$P_{0} (T \leq 8) = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \frac{5}{64} + \frac{6}{128} + \frac{7}{256} = \frac{64 + 64 + 48 + 32 + 20 + 12 + 7}{256} = \frac{247}{256} .$
したがって次が得られる。
- $P_{0} (T \geq 9) = \frac{9}{256} \approx 0.0352 < 0.05$
- $P_{0} (T \geq 8) = \frac{9}{256} + \frac{7}{256} = \frac{16}{256} = 0.0625 > 0.05$

ゆえに $c = 8$ である。 $γ$ は次の式で決める。
$\frac{9}{256} + γ \cdot \frac{7}{256} = \frac{1}{20}$
これを解くと
$γ \cdot \frac{7}{256} = \frac{256 - 180}{5120} = \frac{19}{1280}, γ = \frac{19}{1280} \cdot \frac{256}{7} = \frac{19}{35} .$

4. $p = \frac{1}{4}$ のもとでの検出力

「 $T > m$ 」は「最初の $m$ 回の試行で成功が $1$ 回以下」と同じである。よって
$P (T > m) = q^{m} + m p q^{m - 1}$
が成り立つ。 $p = \frac{1}{4}$ , $m = 8$ とすると
$P_{1} (T \geq 9) = (\frac{3}{4})^{8} + 8 \cdot \frac{1}{4} (\frac{3}{4})^{7} = \frac{6561 + 17496}{65536} = \frac{24057}{65536} .$
また
$P_{1} (T = 8) = 7 \cdot \frac{1}{16} (\frac{3}{4})^{6} = \frac{7 \cdot 729}{65536} = \frac{5103}{65536} .$

したがって検出力は
$P_{1} (T \geq 9) + γ P_{1} (T = 8) = \frac{24057}{65536} + \frac{19}{35} \cdot \frac{5103}{65536} .$
ここで $\frac{19}{35} \cdot 5103 = \frac{19 \cdot 729}{5} = \frac{13851}{5}$ なので
$\frac{24057}{65536} + \frac{13851}{5 \cdot 65536} = \frac{120285 + 13851}{327680} = \frac{134136}{327680} = \frac{16767}{40960} (\approx 0.409) .$

よって求める検出力は $\frac{16767}{40960}$ である。

別解

2 つの観測値の同時確率は、 $S = X_{1} + X_{2}$ として $p^{2} (1 - p)^{S - 2}$ である。尤度比は $\frac{L _{1}}{L _{0}} = \frac{( 1/16 ) ( 3/4 ) ^{S - 2}}{( 1/2 ) ^{S}} = \frac{1}{9} (\frac{3}{2})^{S}$ で、 $S$ について単調増加である。ネイマン・ピアソンの補題より、最強力検定は $S$ が大きいときに棄却する形になる（ $S$ の値が同じなら尤度比も同じ）。

$H_{0}$ のもとで $P (S = s) = (s - 1) / 2^{s}$ （ $s \geq 2$ ）であり、 $P (S \geq s) = s / 2^{s - 1}$ となる（ $s = 2, 3, 4$ で確認済み）。
- $P (S \geq 9) = 9/256 \approx 0.0352 \leq 0.05$
- $P (S \geq 8) = 8/128 = 0.0625 > 0.05$

よって $S \geq 9$ では確率 1 で棄却し、 $S = 8$ では確率 $γ$ で棄却する。 $P_{0} (S = 8) = 7/256$ なので、
$\frac{9}{256} + γ \frac{7}{256} = \frac{1}{20}$ より $γ = \frac{19/1280}{7/256} = \frac{19}{35}$ （ $0 \leq γ \leq 1$ を満たす）。

$p = 1/4$ のもとでは、 $S \geq s$ は最初の $s - 1$ 回の試行で成功が 1 回以下という事象と同値である。したがって $P (S \geq s) = q^{s - 1} + (s - 1) p q^{s - 2}$ （ $q = 3/4$ ）となる。
- $P_{1} (S \geq 9) = q^{8} + 8 p q^{7} = (3/4)^{7} \cdot \frac{11}{4} = \frac{2187}{16384} \cdot \frac{11}{4} = \frac{24057}{65536}$
- $P_{1} (S = 8) = 7 \cdot \frac{1}{16} \cdot (\frac{3}{4})^{6} = \frac{5103}{65536}$

検出力は
$\frac{24057}{65536} + \frac{19}{35} \cdot \frac{5103}{65536} = \frac{24057 + 13851/5}{65536} = \frac{134136}{327680} = \frac{16767}{40960}$
（ $5103/35 = 729/5$ を用いた）。約 $0.409$ 。

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