数理統計の問題

ある試行を、成功するまで互いに独立にくり返すとき、初めて成功するまでの試行回数を $X$ とする。1 回の成功確率を $p$（$0<p<1$）とすると、$X$ は幾何分布
$$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
に従う。この分布に互いに独立に従う 2 つの観測値 $X_1,X_2$ にもとづいて、帰無仮説 $H_0:p=\frac{1}{2}$ を対立仮説 $H_1:p=\frac{1}{4}$ に対して検定する。

ランダム化検定（観測値に応じて、確率 $\gamma$（$0\le \gamma \le 1$）で $H_0$ を棄却する検定）も許すとき、有意水準 $0.05$ の検定のうち検出力が最大となる検定を考える。この検定の $p=\frac{1}{4}$ における検出力を、既約分数で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定するために、$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ を検定統計量とし、定数 $c(0<c<1)$ を用いて
$$M>c\text{ のとき }{H}_0\text{ を棄却する}$$
という検定を考える。ここで $c$ は、この検定の有意水準（$H_0$ のもとで棄却する確率）がちょうど $0.1$ になるように定める。

$\theta =2$ のときの検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.95$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。

ある充填機で袋に詰める砂糖の重さ（単位: g）は、平均 $\mu$、分散 $9$ の正規分布 $N(\mu ,9)$ に従うとする（分散は既知、$\mu$ は未知の実数の母数）。$n$ を正の整数とし、無作為に取り出した $n$ 袋の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に $N(\mu ,9)$ に従うとする。

詰め不足を調べるため、帰無仮説 $H_0:\mu =100$、対立仮説 $H_1:\mu <100$ について、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ が定数 $c$ 以下のとき $H_0$ を棄却する検定を行う。ただし $c$ は、この検定の有意水準がちょうど $0.05$ になるように定める。

真の平均が $\mu =98.5$ のときのこの検定の検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.90$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ を用いよ。

ある電子部品の寿命は、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
の指数分布に従うとする（$\theta >0$ は平均寿命を表す未知の母数）。この部品 2 個の寿命 $X_1$, $X_2$ を互いに独立に観測し、単純帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を単純対立仮説 $H_1:\theta =4$ に対して、有意水準 $\alpha =5e^{-4}$ で検定する。

ネイマン・ピアソンの補題によって定まる、有意水準 $\alpha$ の最強力検定（棄却域の境界上の確率は $0$ なので、確率化しない検定でよい）の、$H_1$ のもとでの検出力を求めよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta e^{-\theta x}(x>0)$$
の指数分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\theta$ によらない正の定数 $c$（$n$ には依存してよい）を用いた $\theta$ の推定量
$${\hat{\theta }}_c=\frac{c}{S}$$
を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(c)=E\left[({\hat{\theta }}_c-\theta {)}^2\right]$ を最小にする $c$ の値はすべての $\theta >0$ に対して共通である。この値を $c^{\ast }$ とするとき、組 $(c^{\ast },\mathrm{MSE}(c^{\ast }))$ を $n$ と $\theta$ を用いて表せ。