数理統計の問題

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta e^{-\theta x}(x>0)$$
の指数分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\theta$ によらない正の定数 $c$（$n$ には依存してよい）を用いた $\theta$ の推定量
$${\hat{\theta }}_c=\frac{c}{S}$$
を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(c)=E\left[({\hat{\theta }}_c-\theta {)}^2\right]$ を最小にする $c$ の値はすべての $\theta >0$ に対して共通である。この値を $c^{\ast }$ とするとき、組 $(c^{\ast },\mathrm{MSE}(c^{\ast }))$ を $n$ と $\theta$ を用いて表せ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は、母数 $\theta >0$ をもつ確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
に従うとする（$0<x<1$ の外では $f(x\mid \theta )=0$）。$X$ を 1 回だけ観測して、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。

ネイマン・ピアソンの補題によって得られる有意水準 $0.1$ の最強力検定の検出力を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。