数理統計の問題

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。