フィッシャー情報量とクラメール・ラオの下限

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$\theta$ と $n$ を用いて求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。なお、$X_1$ の期待値は $E(X_1)=\theta$ である。

クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ に基づく $\theta$ の不偏推定量の分散について、クラメール・ラオの下限を $\theta$ と $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=x\mid p)=p^x(1-p{)}^{1-x}(x=0,1)$$
のベルヌーイ分布に従う確率変数とする。ここで $0<p<1$ は未知の母数である。$p$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $p$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=k\mid p)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
の幾何分布に従う確率変数とする。ここで $0<p<1$ は未知の母数である。この分布の平均 $\mu =\frac{1}{p}$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $p$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、
$$T=\frac{n-1}{S}$$
と定める。1 標本あたりのフィッシャー情報量を $I(\theta )=E_{\theta }\left[{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(X_1;\theta )\right)}^2\right]$ とし、$\theta$ の不偏推定量に対するクラメール・ラオの下限を $\frac{1}{nI(\theta )}$ とする。

このとき、$T$ は $\theta$ の不偏推定量であり、すべての $\theta >0$ に対して $V_{\theta }(T)>\frac{1}{nI(\theta )}$ が成り立つ（すなわち $T$ の分散はクラメール・ラオの下限に達しない）ことを証明せよ。

ただし、互いに独立で、いずれも確率密度関数 $\theta e^{-\theta y}(y>0)$ をもつ $n$ 個の確率変数の和は、確率密度関数 $\frac{{\theta }^n{s}^{n-1}{e}^{-\theta s}}{(n-1)!}(s>0)$ をもつこと（ガンマ分布の再生性）と、正の整数 $k$ に対して ${\int }_0^{\infty }{s}^{k-1}{e}^{-\theta s}ds=\frac{(k-1)!}{{\theta }^k}$ であることは用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。