検定の有意水準と検出力

第 1 種・第 2 種の誤りの確率を計算し、検出力を求められる（分布の値は問題文で与える）

前提

仮説検定（数学B 統計的な推測）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）

説明

仮説検定では、帰無仮説 $H_{0}$ が正しいのに棄却してしまう誤り（第 1 種の誤り）と、対立仮説 $H_{1}$ が正しいのに $H_{0}$ を棄却しない誤り（第 2 種の誤り）の 2 つが起こりえます。この技能では、棄却域が決まった検定について、それぞれの誤りが起こる確率を正規分布の値から計算します。さらに「本当に差があるときに、それを正しく見抜ける確率」である検出力を求めます。検定の良し悪しを比べるときや、標本の大きさを決めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

検定は「検定統計量が棄却域に入ったら $H_{0}$ を棄却する」という規則です。結論が当たるか外れるかは、真の母数の値で決まる確率の問題です。 $H_{0}$ が正しいときに棄却域に入る確率が第 1 種の誤りの確率で、これを有意水準 $α$ と呼びます。 $H_{1}$ のもとで母数がある値 $μ_{1}$ のとき、棄却域に入らない確率が第 2 種の誤りの確率 $β$ です。その余事象、つまり $H_{1}$ が正しいときに正しく棄却する確率 $1 - β$ が検出力です。

計算の道具は標準化です。 $X_{1}, \dots, X_{n}$ が互いに独立に $N (μ, σ^{2})$ に従うとき、標本平均 $X ˉ$ は $N (μ, σ^{2} / n)$ に従います。したがって真の値が $μ$ なら $Z = \frac{X ˉ - μ}{σ / n}$ は $N (0, 1)$ に従います。棄却域が $X ˉ \geq c$ なら、 $α$ は $μ = μ_{0}$ として標準化した確率、検出力は $μ = μ_{1}$ として標準化した確率になります。どちらも同じ棄却域 $X ˉ \geq c$ についての確率で、違うのは「どの $μ$ で標準化するか」だけです。

標準正規分布の密度 $\frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$ は偶関数です。そのため、 $Φ (z) = P (Z \leq z)$ とおくと $P (Z \geq - a) = P (Z \leq a) = Φ (a)$ 、 $P (Z \geq a) = 1 - Φ (a)$ が成り立ちます。表の値はこの関係を使って読み替えます。なお、 $c$ を大きくすると $α$ は小さくなりますが、同時に $β$ は大きくなります。2 つの誤りは一方を減らすと他方が増える関係にあります。両方を小さくするには、標本の大きさ $n$ を増やして $σ / n$ を小さくする必要があります。

手順

検定の設定を確認する。帰無仮説 $H_{0} : μ = μ_{0}$ 、対立仮説のもとでの値 $μ_{1}$ 、検定統計量（例: $X ˉ$ ）の分布 $N (μ, σ^{2} / n)$ 、棄却域（例: $X ˉ \geq c$ ）を書き出す。
第 1 種の誤りの確率（有意水準）を求める。 $μ = μ_{0}$ として標準化し、 $α = P (Z \geq \frac{c - μ _{0}}{σ / n})$ を計算する。
第 2 種の誤りの確率を求める。 $μ = μ_{1}$ として標準化し、 $β = P (X ˉ < c) = P (Z < \frac{c - μ _{1}}{σ / n})$ を計算する。
検出力を $1 - β = P (Z \geq \frac{c - μ _{1}}{σ / n})$ として求める。負の値の確率は $Φ (- a) = 1 - Φ (a)$ で与えられた表の値に直す。

例題

母集団分布が $N (μ, 4^{2})$ で、大きさ $16$ の無作為標本の標本平均を $X ˉ$ とする。帰無仮説 $H_{0} : μ = 50$ 、対立仮説 $H_{1} : μ > 50$ の検定で、棄却域を $X ˉ \geq 52$ とする。この検定の第 1 種の誤りの確率と、真の値が $μ = 53$ のときの検出力を、この順に求めよ。ただし、標準正規分布に従う $Z$ について $P (Z \leq 1) = 0.8413$ 、 $P (Z \leq 2) = 0.9772$ とする。

例題の解答

手順 1（設定の確認）: $σ = 4$ 、 $n = 16$ なので $σ / n = 4/4 = 1$ です。よって $X ˉ \sim N (μ, 1)$ で、棄却域は $X ˉ \geq 52$ です。

手順 2（第 1 種の誤り）: $H_{0}$ のもとでは $μ = 50$ なので、 $Z = X ˉ - 50$ が $N (0, 1)$ に従います。
$α = P (X ˉ \geq 52) = P (Z \geq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$

手順 3（第 2 種の誤り）: $μ = 53$ のときは $Z = X ˉ - 53$ が $N (0, 1)$ に従います。
$β = P (X ˉ < 52) = P (Z < - 1) = 1 - P (Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$
ここでは密度が偶関数であることから $P (Z < - 1) = P (Z > 1)$ を使いました。

手順 4（検出力）: $1 - β = 1 - 0.1587 = 0.8413$

よって、第 1 種の誤りの確率は $0.0228$ 、検出力は $0.8413$ です。

答え: $(0.0228, 0.8413)$

よくある誤り

第 2 種の誤りの確率を $μ_{0}$ で標準化して計算してしまう誤り。正しくは対立仮説のもとの値 $μ_{1}$ で標準化する。例題では $β = P (X ˉ < 52) = P (Z < 52 - 53)$ であり、 $P (Z < 52 - 50)$ ではない。
$α + β = 1$ になると思い込み、 $β = 1 - α$ としてしまう誤り。正しくは $α$ と $β$ は別の $μ$ のもとでの確率で、一般に和は 1 にならない。例題では $α = 0.0228$ 、 $β = 0.1587$ である。
標準化で $σ / n$ ではなく $σ$ で割ってしまう誤り。例題で $\frac{52 - 50}{4} = 0.5$ とするのは誤りで、正しくは $X ˉ$ の標準偏差 $\frac{4}{16} = 1$ で割って $\frac{52 - 50}{1} = 2$ とする。
検出力と第 2 種の誤りの確率を取り違え、検出力を $β = P (X ˉ < c ∣ μ_{1})$ と答えてしまう誤り。正しくは検出力は正しく棄却する確率なので $1 - β = P (X ˉ \geq c ∣ μ_{1})$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ネイマン・ピアソンの補題と最強力検定（大学数学数理統計）