数理統計の問題

ある充填機で袋に詰める砂糖の重さ（単位: g）は、平均 $\mu$、分散 $9$ の正規分布 $N(\mu ,9)$ に従うとする（分散は既知、$\mu$ は未知の実数の母数）。$n$ を正の整数とし、無作為に取り出した $n$ 袋の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に $N(\mu ,9)$ に従うとする。

詰め不足を調べるため、帰無仮説 $H_0:\mu =100$、対立仮説 $H_1:\mu <100$ について、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ が定数 $c$ 以下のとき $H_0$ を棄却する検定を行う。ただし $c$ は、この検定の有意水準がちょうど $0.05$ になるように定める。

真の平均が $\mu =98.5$ のときのこの検定の検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.90$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ を用いよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定するために、$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ を検定統計量とし、定数 $c(0<c<1)$ を用いて
$$M>c\text{ のとき }{H}_0\text{ を棄却する}$$
という検定を考える。ここで $c$ は、この検定の有意水準（$H_0$ のもとで棄却する確率）がちょうど $0.1$ になるように定める。

$\theta =2$ のときの検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.95$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

ある部品の長さ（単位: mm）を測定する。$\mu$ を実数の母数とし、$\mu$ が与えられたとき、測定値 $X_1,X_2,\dots ,X_5$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,4)$（平均 $\mu$、分散 $4$）に従うとする。$\mu$ の事前分布を正規分布 $N(10,1)$（平均 $10$、分散 $1$）とする。5 回の測定値の合計が
$$\sum _{i=1}^5{x}_i=60$$
であったとき、$\mu$ の事後分布の平均を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。