数理統計の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。

ある工場で製造される部品の重さ（単位: g）は、正規分布 $N(\mu ,4^2)$（平均 $\mu$、標準偏差 $4$）に従うとする。$\sigma =4$ は既知で、$\mu$ は未知の母数である。$n$ を正の整数とし、無作為に抽出した $n$ 個の部品の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立にこの分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とする。

帰無仮説 $H_0:\mu =50$、対立仮説 $H_1:\mu >50$ を、有意水準 $0.05$ で検定する。棄却域は
$$\bar{X}\ge 50+1.645\cdot \frac{4}{\sqrt{n}}$$
とする（このとき有意水準はちょうど $0.05$ である）。

$\mu =52$ のときのこの検定の検出力が $0.90$ 以上となるような $n$ の最小値を求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi (z)$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ とする。また $\Phi$ は狭義単調増加である。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

ある新しい種子の発芽率を $p$（$0<p<1$）とする。$p$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (p)=\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ で $\alpha =2,\beta =3$ としたものを用いる。ここで $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ はベータ関数であり、$\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の平均は $\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ である。

$p$ が与えられたとき、種子 12 粒はそれぞれ互いに独立に確率 $p$ で発芽するものとする。実際に 12 粒をまいたところ、8 粒が発芽した。この観測結果のもとでの $p$ の事後分布の平均を求めよ。