数理統計の問題

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

ある電子部品の寿命は、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
の指数分布に従うとする（$\theta >0$ は平均寿命を表す未知の母数）。この部品 2 個の寿命 $X_1$, $X_2$ を互いに独立に観測し、単純帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を単純対立仮説 $H_1:\theta =4$ に対して、有意水準 $\alpha =5e^{-4}$ で検定する。

ネイマン・ピアソンの補題によって定まる、有意水準 $\alpha$ の最強力検定（棄却域の境界上の確率は $0$ なので、確率化しない検定でよい）の、$H_1$ のもとでの検出力を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。