数理統計の問題

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
のポアソン分布に従う確率変数とする。ここで $\lambda >0$ は未知の母数である。$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、${\lambda }^2$ の推定量として $T={\bar{X}}^2$ を用いる。$T$ の平均二乗誤差
$$\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-{\lambda }^2{)}^2\right]$$
を $n$ と $\lambda$ の式で表せ。

あるバス停でバスを待つ時間（単位: 分）は、$\theta$ が与えられたとき区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数）。$\theta$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\theta )=\frac{3\cdot 2^3}{{\theta }^4}(\theta >2)$$
（$\theta \le 2$ では $\pi (\theta )=0$）のパレート分布を用いる。

$\theta$ が与えられたとき互いに独立な 5 回の待ち時間を観測したところ、
$$1.2,3.1,0.7,2.6,1.9$$
であった。このデータのもとでの $\theta$ の事後分布の平均（事後平均）を求めよ。

$\alpha >0$, $\beta >0$ を定数とする。母数 $\lambda >0$ の事前分布を、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
をもつガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha ,\beta )$ とする。$\lambda$ が与えられたとき、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に平均 $\lambda$ のポアソン分布に従い、その実現値 $x_1,\dots ,x_n$（いずれも $0$ 以上の整数）が得られたとする。$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ とおく。

このとき、$\lambda$ の事後分布はガンマ分布 $\mathrm{Ga}\left(\alpha +{\sum }_{i=1}^n{x}_i,\beta +n\right)$ であり、事後分布の平均は
$$E[\lambda \mid x_1,\dots ,x_n]=w\cdot \frac{\alpha }{\beta }+(1-w)\bar{x},w=\frac{\beta }{\beta +n}$$
と、事前分布の平均 $\frac{\alpha }{\beta }$ と標本平均 $\bar{x}$ の重み付き平均で表されることを証明せよ。

ただし、$a>0$, $b>0$ に対して ${\int }_0^{\infty }{\lambda }^{a-1}{e}^{-b\lambda }d\lambda =\frac{\Gamma (a)}{b^a}$ であること、および $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ は用いてよい。

ある新しい種子の発芽率を $p$（$0<p<1$）とする。$p$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (p)=\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ で $\alpha =2,\beta =3$ としたものを用いる。ここで $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ はベータ関数であり、$\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の平均は $\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ である。

$p$ が与えられたとき、種子 12 粒はそれぞれ互いに独立に確率 $p$ で発芽するものとする。実際に 12 粒をまいたところ、8 粒が発芽した。この観測結果のもとでの $p$ の事後分布の平均を求めよ。