数理統計の問題

ある窓口に 1 時間あたりに来る客の数は、パラメータ $\lambda >0$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、形状パラメータ $\alpha =3$、レートパラメータ $\beta =2$ のガンマ分布
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
を用いる（このガンマ分布の平均は $\frac{\alpha }{\beta }$ である）。

異なる 5 つの時間帯に観測した客の数は $4,2,5,3,6$ であった。各時間帯の客の数は、$\lambda$ を与えたもとで互いに独立に上のポアソン分布に従うとする。このデータを得たあとの $\lambda$ の事後分布の平均を求めよ。

$\alpha >0$, $\beta >0$ を定数とする。母数 $\lambda >0$ の事前分布を、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
をもつガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha ,\beta )$ とする。$\lambda$ が与えられたとき、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に平均 $\lambda$ のポアソン分布に従い、その実現値 $x_1,\dots ,x_n$（いずれも $0$ 以上の整数）が得られたとする。$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ とおく。

このとき、$\lambda$ の事後分布はガンマ分布 $\mathrm{Ga}\left(\alpha +{\sum }_{i=1}^n{x}_i,\beta +n\right)$ であり、事後分布の平均は
$$E[\lambda \mid x_1,\dots ,x_n]=w\cdot \frac{\alpha }{\beta }+(1-w)\bar{x},w=\frac{\beta }{\beta +n}$$
と、事前分布の平均 $\frac{\alpha }{\beta }$ と標本平均 $\bar{x}$ の重み付き平均で表されることを証明せよ。

ただし、$a>0$, $b>0$ に対して ${\int }_0^{\infty }{\lambda }^{a-1}{e}^{-b\lambda }d\lambda =\frac{\Gamma (a)}{b^a}$ であること、および $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ は用いてよい。

ある新しい種子の発芽率を $p$（$0<p<1$）とする。$p$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (p)=\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ で $\alpha =2,\beta =3$ としたものを用いる。ここで $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ はベータ関数であり、$\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の平均は $\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ である。

$p$ が与えられたとき、種子 12 粒はそれぞれ互いに独立に確率 $p$ で発芽するものとする。実際に 12 粒をまいたところ、8 粒が発芽した。この観測結果のもとでの $p$ の事後分布の平均を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。