数理統計の問題

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。

ある新しい種子の発芽率を $p$（$0<p<1$）とする。$p$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (p)=\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ で $\alpha =2,\beta =3$ としたものを用いる。ここで $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ はベータ関数であり、$\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の平均は $\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ である。

$p$ が与えられたとき、種子 12 粒はそれぞれ互いに独立に確率 $p$ で発芽するものとする。実際に 12 粒をまいたところ、8 粒が発芽した。この観測結果のもとでの $p$ の事後分布の平均を求めよ。

ある窓口に 1 時間あたりに来る客の数は、パラメータ $\lambda >0$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、形状パラメータ $\alpha =3$、レートパラメータ $\beta =2$ のガンマ分布
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
を用いる（このガンマ分布の平均は $\frac{\alpha }{\beta }$ である）。

異なる 5 つの時間帯に観測した客の数は $4,2,5,3,6$ であった。各時間帯の客の数は、$\lambda$ を与えたもとで互いに独立に上のポアソン分布に従うとする。このデータを得たあとの $\lambda$ の事後分布の平均を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$0<\alpha <1$ を定数とし、帰無仮説 $H_0:\theta \le 1$、対立仮説 $H_1:\theta >1$ の検定として、
$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\},c=(1-\alpha {)}^{1/n}$$
とおき「$M>c$ のとき $H_0$ を棄却する」検定を考える。この検定の検出力関数を $\beta (\theta )=P_{\theta }(M>c)(\theta >0)$ と定める。

このとき
$$\underset{0<\theta \le 1}{\sup }\beta (\theta )=\alpha$$
（すなわちこの検定のサイズは $\alpha$）であり、さらにすべての $\theta >1$ に対して
$$\beta (\theta )=1-\frac{1-\alpha }{{\theta }^n}>\alpha$$
が成り立つ（対立仮説のもとでの検出力は常に $\alpha$ を超える）ことを証明せよ。