数理統計の問題

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。母数 $\lambda$ は未知で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $2$、レート母数 $3$）を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 4 個の部品の寿命を観測したところ、
$$1.2,0.8,2.5,0.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均（事後分布の期待値）を求めよ。

ある窓口に 1 時間あたりに来る客の数は、パラメータ $\lambda >0$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、形状パラメータ $\alpha =3$、レートパラメータ $\beta =2$ のガンマ分布
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
を用いる（このガンマ分布の平均は $\frac{\alpha }{\beta }$ である）。

異なる 5 つの時間帯に観測した客の数は $4,2,5,3,6$ であった。各時間帯の客の数は、$\lambda$ を与えたもとで互いに独立に上のポアソン分布に従うとする。このデータを得たあとの $\lambda$ の事後分布の平均を求めよ。

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ は未知の母数で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=4{\lambda }^2{e}^{-2\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $3$、尺度の逆数 $2$）を考える。

$\lambda$ が与えられたとき互いに独立なこの部品 $4$ 個の寿命を調べたところ、
$$1.2,0.8,2.5,1.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{data})$ を求めよ。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。