数理統計の問題

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ は未知の母数で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=4{\lambda }^2{e}^{-2\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $3$、尺度の逆数 $2$）を考える。

$\lambda$ が与えられたとき互いに独立なこの部品 $4$ 個の寿命を調べたところ、
$$1.2,0.8,2.5,1.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{data})$ を求めよ。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。

あるバス停でバスを待つ時間（単位: 分）は、$\theta$ が与えられたとき区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数）。$\theta$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\theta )=\frac{3\cdot 2^3}{{\theta }^4}(\theta >2)$$
（$\theta \le 2$ では $\pi (\theta )=0$）のパレート分布を用いる。

$\theta$ が与えられたとき互いに独立な 5 回の待ち時間を観測したところ、
$$1.2,3.1,0.7,2.6,1.9$$
であった。このデータのもとでの $\theta$ の事後分布の平均（事後平均）を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \lambda )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\lambda >0$ は未知の母数である。この分布の期待値は $E(X_i)=\frac{1}{\lambda }$、分散は $V(X_i)=\frac{1}{{\lambda }^2}$ である。

$g(\lambda )=\frac{1}{\lambda }$ の推定量として、重みをつけた平均
$$T=\frac{2}{n(n+1)}\sum _{k=1}^{n}k{X}_k$$
を考える。$T$ は $g(\lambda )$ の不偏推定量である。$g(\lambda )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\lambda )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\lambda )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。